Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Парная регрессия. Оценивание параметров методом наименьших квадратов

Читайте также:
  1. I. Передача параметров запроса методом GET.
  2. Алгоритм вычисления стандартизованных показателей обратным методом
  3. Возмущений, взвешенный метод наименьших квадратов
  4. Выбор некоторых параметров первой ступени компрессора на среднем диаметре
  5. Выбор оптимальных режимных параметров
  6. Глава 47. Особенности регулирования труда лиц, работающих вахтовым методом
  7. Глава VII. Комплекс программ для выбора и расчета параметров компрессора и турбины ТURBO_GTD

Парная регрессия позволяет получить аналитическое выражение связи между двумя признаками: результативным и факторным.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически, однако существуют более общие указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи - гиперболическая. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная регрессия.

Оценка параметров уравнений регрессии (a0, a1, и a2 - в уравнении параболы второго порядка) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели (a0, a1), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

где n - объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

В уравнениях регрессии параметр a0 показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных в уравнении факторных признаков. Коэффициент регрессии a1 показывает, на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу собственного измерения.

25. Тест Голдфелда–Квандта гомоскедастичности случайных возмущений в схеме Гаусса – Маркова

Тест Голдфелда-Квандта предназначен для проверки предпосылки

Var(u1)=Var(u2)=…=Var(un)= Ϭ 2 теоремы Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайного остатка в модели y=a0+a1x1+a2x2+…+akxk+u (1)

E(u | x)=0, E(u2 | x)= Ϭu 2

т.е. для проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсий случайных остатков в уравнениях наблюдений y = X a + a:

H0 : Var(u1)=Var(u2)=…=Var(un)= Ϭ 2 (2)

Неадекватность гипотезы (2) порождает негативные для МНК-оценок


a =f ⃰ (X, y)=f МНК (X, y)=M(X) y =(XTX)-1XT y

 


u12 + u22 + … + u n2

Ϭu2 = n – (k + 1) определённые последствия.

Рассмотрим алгоритм теста (статистической процедуры) Голдфелда-Квандта, а затем проведём его обоснование. Тест Голдфелда-Квандта реализуется в итоге следующих шагов.

Шаг 1. Уравнения наблюдений объекта y = X a + a следует упорядочить по возрастанию суммы модулей значений предопределённых переменных модели (1), т.е. по возрастанию значений

z1 = | x1i | + | x1i | +…+ | x1i | (3)

Замечание. В этот пункт процедуры Голдфелда-Квандта заложена естественная предпосылка, что возможная гетероскедастичность случайного остатка в модели (1), т.е. зависимость его условий дисперсии Var(u) = E(u2 | x) от объясняющих переменных модели, имеет специальный вид:

E (u2 | x) = f (| x1 |+| x2 |+…+| xk |) = f(z), (4)

Причём функция f(z) является либо возрастающей, либо убывающей. Нужно подчеркнуть, что если случайный остаток гомоскедастичен, то любая зависимость Var(u) = E(u2 | x) от x, а частности зависимость (4), отсутствует. Добавим, что после вычисления в отдельном столбце листа Excel величин (3) упорядочение уравнений наблюдений y = X a + a осуществляется командой «Сортировка по возрастанию» из категории «Данные».

Шаг 2. По первым n′ упорядоченным уравнениям наблюдений объекта (где n′ удовлетворяет условиям

k +1 < n′, n′ ≈ 0,3 n, (5)

k +1 – количество оцениваемых коэффициентов функции регрессии) вычислить МНК-оценки параметров модели и величину n′

ESS1 = ∑ ui2, (6)

i =1

где

ui = yi – yi = yi – (a 0 +a 1 x 1 i + … + akxki) - (7)

МНК-оценка случайного возмущения ui.

Замечание. Напомним, что функция ЛИНЕЙН Excel размещает величину ESS в ячейке B n +5, т.е. во втором столбце последней строки выделенного массива.

Шаг 3. По последним n′ упорядоченным уравнениям наблюдений вычислить МНК-оценку параметров модели и величину ESS, которую обозначим ESS2.

Шаг 4. Вычислить статистику

ESS1

GQ = ESS2 (8)

Шаг 5. Задаться уровнем значимости ɑ и с помощью функции FРАСПОБР Excel при количествах степеней свободы ʋ1, ʋ2, где

ʋ1 = ʋ2 = n′ - (k +1),

определить (1- ɑ)-квантиль, F крит= F 1- ɑ распределения Фишера.

Шаг 6. Принять гипотезу (2), если справедливы неравенства

GQF крит (9)

GQ -1F крит

т.е. при справедливых неравенствах (9) случайный остаток в модели (1) полагать гомоскедастичным. В противном случае гипотезу (2) отклонить как противоречащую реальным данным и сделать вывод о гетероскедастичности случайного остатка в модели (1).

Замечание. Обсужденный выше тест корректен в ситуации, когда случайные остатки в уравнениях наблюдений y = X a + a распределены по нормальному закону и все другие предпосылки теоремы Гаусса-Маркова справедливы.

Проведём обоснование теста Голдфелда-Квандта. Если вектор случайных остатков в уравнениях наблюдений имеет нормальный закон распределения и все предпосылки теоремы Гаусса-Маркова справедливы, то согласно

величины ESS 1 и ESS 2 являются случайными переменными и распределены (с точностью до множителя Ϭu2) по закону хи-квадрат с количеством степеней свободы n′ -(k +1). Кроме того, согласно предпосылке

Cov(ui, uj)=0, ij

эти переменные независимые. Значит, и статистика (8), и обратная к ней величина GQ -1 являются случайной переменной и имеют распределение Фишера с количествами степеней свободы ʋ1, ʋ2. Следовательно, критерием гипотезы (2) может служить множество

Z [ H 1]=(F 1- ɑ , +∞). (10)

Если величина GQ (или величина GQ -1) попадает в множество (10), то гипотезу (2) следует отклонит ь в пользу альтернативной гипотезы

H 1= H 0, (11)

Представляющей отрицание гипотезы (2), т.е. означающей гомоскедастичность случайного остатка в модели (1). Второе условие (приближенное равенство) в (5) обеспечивает максимальную мощность критерия (9).


Дата добавления: 2015-10-23; просмотров: 218 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Анализ вариации зависимой переменной в регрессии | Компьютерное моделирование эконометрических систем | Интервальное прогнозирование по оцененной линейной эконометрической модели парной регрессии значений эндогенной переменной | Множественная линейная регрессионная модель. Оценивание параметров множественной регрессии методом наименьших квадратов | Определение границ доверительного интервала | Оценивание параметров модели взвешенным методом наименьших квадратов | Проверка гипотез относительно коэффициентов парной регрессии | Автокорреляция случайного возмущения | Модель парной регрессии. Границы доверительных интервалов |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Гетероскедастичность случайной компоненты. Тесты на наличие гетероскедастичности| Дисперсионный анализ в парной регрессии

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)