Читайте также:
|
|
МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Учебно-методическое пособие
Томск
РАССМОТРЕНО и УТВЕРЖДЕНО методической комиссией факультета прикладной математики и кибернетики.
ПРОТОКОЛ № 26 от 26 января 2007 г.
Председатель комиссии
профессор С.Э.Воробейчиков
В учебно-методическом пособии приведены краткие теоретические сведения и даны практические рекомендации к решению задач по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Пособие разработано для студентов факультета прикладной математики и кибернетики дневной формы обучения.
Составители: К.И.Лившиц
Л.Ю.Сухотина
1. Матрицы
Основные понятия
Определение. Пусть — множество чисел и
— набор из
элементов множества
. Прямоугольная таблица
,
состоящая из строк и
столбцов, называется матрицей.
Числа , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. Совокупность элементов
образуют
ю строку матрицы, а совокупность элементов
образует
й столбец матрицы. Величины
и
называются порядками матрицы.
Две матрицы, имеющие одинаковое число строк и одинаковое число
столбцов называются матрицами одинакового типа. Две матрицы
и
называются равными, если они имеют одинаковые порядки и
.
Если , матрица называется квадратной. Совокупность элементов
называется главной диагональю матрицы. Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называется диагональной. Если все диагональные элементы диагональной матрицы
, то диагональная матрица называется единичной и обозначается символом
.
Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается . Нулевые матрицы различных порядков считаются различными, так как состоят из разного числа элементов.
Квадратная матрица называется верхней треугольной, если из следует, что
и нижней треугольной, если из
следует, что
.
Матрицу, состоящую из одной строки, называют вектор — строкой, а матрицу, состоящую из одного столбца, называют вектор — столбцом. Например, матрица вектор — строка размера
.
Действия с матрицами
1. Транспонирование матриц. Операция транспонирования матриц состоит в перемене местами строк и столбцов с сохранением их номеров. Пусть дана матрица порядка
. Тогда транспонированной по отношению матрице
называется матрица
порядка
, элементы которой
. Транспонирование матрицы обозначается как
.
Пример. Пусть Тогда
2. Сложение матриц. Операция сложения вводится только для матриц одинакового типа. Суммой двух матриц и
одинакового типа называется матрица
того же типа, элементы которой
Используется обозначение
.
3. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы порядка
и числа
называется матрица
того же типа, элементы которой
. Используется обозначение
.
Пример. Пусть
Тогда матрица
4. Умножение матрицы на матрицу. Операция умножения матрицы на матрицу
вводится для прямоугольных матриц при условии, что число столбцов матрицы
равно числу строк матрицы
. Произведением матрицы
порядка
и матрицы
порядка
, заданных в определенном порядке (
— первая,
— вторая), называется матрица
порядка
, элементы которой
Таким образом, элемент матрицы
есть сумма произведений элементов
- й строки матрицы
на соответствующие элементы
- го столбца матрицы
.
Пример 1. Пусть . Тогда
,
.
Пример 2. Пусть . Тогда
.
Задачи
Вычислить произведения матриц:
1. 2.
. 3.
.
4. . 5.
.
6. Доказать, что если для матриц и
оба произведения
и
существуют, причем
, то матрицы
и
- квадратные и имеют одинаковый порядок.
Вычислить выражения:
7. . 8.
. 9.
.
10. , порядок матрицы равен
.
11. Найти значение многочлена от матрицы
.
12. Доказать, что если матрицы и
- квадратные и имеют одинаковый порядок, причем
, то
а) . б)
.
13. Доказать, что если матрицы и
- квадратные и имеют одинаковый порядок, причем
, то
.
14. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей
.
Определители
Основные понятия
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Пусть — квадратная матрица порядка
. Составим произведение из
различных элементов матрицы
, выбирая по одному и только одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Запишем это произведение в виде
. Будем называть его членом определителя. Рассмотрим последовательность чисел
. По самому построению члена определителя это различные числа, которые представляют собой перестановку чисел от 1 до
. Назовем инверсией в перестановке
такое расположение чисел, когда старшее стоит перед младшим. Например, в перестановке 1,2,4,5,7,9,10,8,3,6 будет 12 инверсий. Обозначим число инверсий в перестановке через
. Так как из
чисел можно составить
различных перестановок, то число различных членов определителя равно
!
Определение. Определителем (детерминантом) матрицы называется алгебраическая сумма
! членов определителя перед каждым из которых стоит знак
. Или
где сумма берется по всем возможным перестановкам .
Хотя определитель матрицы это число, будем для удобства столбцы и строки матрицы называть также столбцами и строками ее определителя
.
Пример. Вычислим определитель матрицы второго порядка
.
Члены определителя имеют вид , где
принимают значения 1 и 2. Возможны две пары значений
и
. Поэтому
.
Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 172 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Примечание к части | | | Алгебраические дополнения. Миноры. Формулы разложения определителя по столбцу или строке |