Действия с матрицами

МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Учебно-методическое пособие

Томск

РАССМОТРЕНО и УТВЕРЖДЕНО методической комиссией факультета прикладной математики и кибернетики.

ПРОТОКОЛ № 26 от 26 января 2007 г.

Председатель комиссии

профессор С.Э.Воробейчиков

В учебно-методическом пособии приведены краткие теоретические сведения и даны практические рекомендации к решению задач по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Пособие разработано для студентов факультета прикладной математики и кибернетики дневной формы обучения.

Составители: К.И.Лившиц

Л.Ю.Сухотина

1. Матрицы

Основные понятия

Определение. Пусть — множество чисел и — набор из элементов множества . Прямоугольная таблица

,

состоящая из строк и столбцов, называется матрицей.

Числа , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. Совокупность элементов образуют ю строку матрицы, а совокупность элементов образует й столбец матрицы. Величины и называются порядками матрицы.

Две матрицы, имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов называются матрицами одинакового типа. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые порядки и .

Если , матрица называется квадратной. Совокупность элементов называется главной диагональю матрицы. Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называется диагональной. Если все диагональные элементы диагональной матрицы , то диагональная матрица называется единичной и обозначается символом .

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается . Нулевые матрицы различных порядков считаются различными, так как состоят из разного числа элементов.

Квадратная матрица называется верхней треугольной, если из следует, что и нижней треугольной, если из следует, что .

Матрицу, состоящую из одной строки, называют вектор — строкой, а матрицу, состоящую из одного столбца, называют вектор — столбцом. Например, матрица вектор — строка размера .

Действия с матрицами

1. Транспонирование матриц. Операция транспонирования матриц состоит в перемене местами строк и столбцов с сохранением их номеров. Пусть дана матрица порядка . Тогда транспонированной по отношению матрице называется матрица порядка , элементы которой . Транспонирование матрицы обозначается как .

Пример. Пусть Тогда

2. Сложение матриц. Операция сложения вводится только для матриц одинакового типа. Суммой двух матриц и одинакового типа называется матрица того же типа, элементы которой Используется обозначение .

3. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы порядка и числа называется матрица того же типа, элементы которой . Используется обозначение .

Пример. Пусть

Тогда матрица

4. Умножение матрицы на матрицу. Операция умножения матрицы на матрицу вводится для прямоугольных матриц при условии, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Произведением матрицы порядка и матрицы порядка , заданных в определенном порядке ( — первая, — вторая), называется матрица порядка , элементы которой

Таким образом, элемент матрицы есть сумма произведений элементов - й строки матрицы на соответствующие элементы - го столбца матрицы .

Пример 1. Пусть . Тогда

,

.

Пример 2. Пусть . Тогда

.

Задачи

Вычислить произведения матриц:

1. 2. . 3. .

4. . 5. .

6. Доказать, что если для матриц и оба произведения и существуют, причем , то матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок.

Вычислить выражения:

7. . 8. . 9. .

10. , порядок матрицы равен .

11. Найти значение многочлена от матрицы .

12. Доказать, что если матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок, причем , то

а) . б) .

13. Доказать, что если матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок, причем , то

.

14. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей

.

Определители

Основные понятия

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Пусть — квадратная матрица порядка . Составим произведение из различных элементов матрицы , выбирая по одному и только одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Запишем это произведение в виде . Будем называть его членом определителя. Рассмотрим последовательность чисел . По самому построению члена определителя это различные числа, которые представляют собой перестановку чисел от 1 до . Назовем инверсией в перестановке такое расположение чисел, когда старшее стоит перед младшим. Например, в перестановке 1,2,4,5,7,9,10,8,3,6 будет 12 инверсий. Обозначим число инверсий в перестановке через . Так как из чисел можно составить различных перестановок, то число различных членов определителя равно !

Определение. Определителем (детерминантом) матрицы называется алгебраическая сумма ! членов определителя перед каждым из которых стоит знак . Или

где сумма берется по всем возможным перестановкам .

Хотя определитель матрицы это число, будем для удобства столбцы и строки матрицы называть также столбцами и строками ее определителя .

Пример. Вычислим определитель матрицы второго порядка

.

Члены определителя имеют вид , где принимают значения 1 и 2. Возможны две пары значений и . Поэтому

.

Дата добавления: 2015-10-26