Упражнения и задачи. Определить вид кривых, заданных следующими уравнениями:

Определить вид кривых, заданных следующими уравнениями:

Контрольная работа №2 по теме “Комплексные числа”

I вариант

Вычислите:

а) (2 + 5 i)³; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнение: а) ; б) .

Пусть , где . Докажите, что w – чисто мнимое тогда и только тогда, когда .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

Найдите сумму:

.

II вариант

Вычислите:

а) ; б) .

При каких комплексных z выражения и одновременно имеют действительные значения?

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнение: а) ; б) .

Для каких целых n ?

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразите через .

Найдите сумму:

.

III вариант

Вычислите:

а) б) .

При каких действительных x и y числа и будут комплексно сопряженными?

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнение: а) ; б) .

Вычислите z¹⁹⁷¹+ , если .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразите через .

Найдите сумму:

.

IV вариант

Вычислите:

а) б) .

Найдите действительные значения x, при которых комплексные числа и являются сопряженными.

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнение: а) б) .

Вычислите z¹⁹⁷¹+ , если .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразите через .

Найдите сумму:

.

V вариант

Вычислите:

а) ; б) .

При каких действительных х и у числа и будут комплексно сопряженными?

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) ; б) .

Докажите, что а) ; б) ; в) .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразить через .

Найдите сумму:

.

VI вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) ; б) .

Докажите, что а) ; б) ; в) .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразите через .

Найдите сумму: .

VII вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) ; б) .

Если – корень многочлена с действительными коэффициентами, то и число , сопряженное числу , также корень этого многочлена. Докажите это.

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразите через .

Найдите сумму: .

VIII вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) ; б) .

Если – действительные число, то , где . Докажите это.

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразите через .

Найдите сумму: .

IX вариант

Вычислите: а) ; б) .

Найдите, при каких комплексных значениях k уравнение .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) ; б) .

Докажите, что , если ,

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразите через .

Найдите сумму: .

X вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите свойства модуля комплексного числа:

а) , б) .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

Найдите сумму: .

XI вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите свойства модуля комплексного числа:

а) , б) .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразите через .

Найдите сумму: .

XII вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) б)

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите, что если комплексное число удовлетворяет соотношению , то наибольшее возможное значение его модуля равно .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

Выразите через .

Докажите, что .

XIII вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) б)

Решите уравнения: а) , б) .

Вычислите выражение , если есть корень уравнения .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через .

Докажите, что .

XIV вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) б)

Решите уравнения: а) , б) .

Пусть . Докажите, что и тогда и только тогда, когда , где .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через .

Найдите сумму .

XV вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) б)

Решите уравнения: а) , б) .

Пусть . Докажите, что и тогда и только тогда, когда , где .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через .

Докажите, что .

XVI вариант

Вычислите: а) ; б) .

Найдите, при каких комплексных значениях k уравнение имеет разные корни.

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б)

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите, что .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через .

Найдите сумму: .

XVII вариант

Вычислите: а) ; б) .

Найдите все комплексные числа х и у такие, что числа x, 2x+y, 2x+y образуют арифметическую прогрессию, а числа образуют геометрическую прогрессию.

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б)

Решите уравнения: а) , б) .

Выясните, при каких условиях произведение двух комплексных чисел а)чисто мнимое число, б) вещественное число.

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через .

Докажите, что .

XVIII вариант

Вычислите: а) ; б) .

Найдите все числа, сопряженные своему квадрату

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) б)

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите, что .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через .

Докажите, что:

.

XIX вариант

Вычислите: а) ; б) .

Найдите все числа, сопряженные своему кубу.

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите, что .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

Докажите, что:

.

XX вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите систему, считая, что x, y, z, t вещественные:

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Упростите выражение: .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

Докажите, что .

XXI вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите систему:

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите равенство: .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

Докажите, что .

XXII вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите систему: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите, что и комплексно сопряженные тогда и только тогда, когда + и – действительные числа.

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через и .

Найдите сумму: .

XXIII вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите систему: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите равенство: .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через и .

Найдите сумму: .

XXIV вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите, что корни уравнения могут быть записаны в виде .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через и .

Найдите сумму: .

XXV вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Найдите сумму p-x степеней корней уравнения , где p – целое.

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через и ..

Найдите сумму: .

XXVI вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите систему:

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите, что , если .

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через и ..

Найдите сумму: .

XXVII вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите систему:

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Где расположены точки на числовой плоскости, для которых (z – комплексное число)?

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через и ..

Найдите сумму: .

XXVIII вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите систему:

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Найдите порядки всех корней из единицы 12 степени.

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через и .

Найдите сумму: .

XXIX вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите систему:

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Докажите, что если e – первообразный корень n-той степени из 1, то и – первообразный корень n-той степени из 1.

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через и .

Найдите сумму: .

XXX вариант

Вычислите: а) ; б) .

Решите уравнение: .

Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

Решите уравнения: а) , б) .

Найдите порядки всех корней из 1 степени 20.

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

Выразите через .

Найдите сумму: .

Дата добавления: 2015-10-23