Алгебраическая форма комплексного числа

Рассмотрим множество C всех пар действительных чисел Для них введем отношение равенства и действия сложения и умножения:

(1)

(2)

(3)

Например,

Отождествим пару (а, 0) с числом а. Это отождествление оправдано в силу согласования введенных действий с действиями над вещественными числами:

Можно заметить, что

и что пара (0,1) обладает удивительным свойством:

Для этой пары принято обозначение: (от французского слова imaginare) и называется она мнимой, т.е. воображаемой единицей. В новых обозначениях данное свойство можно переписать так:

(4)

Для пары имеем т.е.

(5)

Множество С называется множеством комплексных чисел, а выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа. При b = 0 комплексное число является действительным числом а, т.е. Это означает, что мы получили расширение множества действительных чисел, в котором уравнение разрешимо, имеет корень i. Легко увидеть, что отношение равенства, сложение и умножение, а также вычитание и деление запишутся в следующем виде:

(6)

(7)

(8)

(9)

где (10)

Заметим, что понятия "больше" и "меньше" для комплексных чисел не определяются, т.е. говорить о том, что одно комплексное число больше или меньше другого, нельзя, это лишено смысла.

Вычитание вводится как действие обратное сложению. Разностью чисел называется такое число , для которого Легко доказать, что разность двух комплексных чисел всегда существует и единственная.

Деление вводится как действие, обратное умножению. Частным чисел и называется такое число для которого Частное существует и единственно всегда, когда делитель В практических вычислениях обычно не пользуются формулой (10), а поступают так:

Свойства арифметических операций:

– коммутативность сложения;

– ассоциативность сложения;

– коммутативность умножения;

– ассоциативность умножения;

– дистрибутивность умножения относительно сложения слева.

Все эти свойства легко доказать, используя аналогичные свойства действительных чисел. Следовательно, арифметические действия над комплексными числами можно проводить по правилам действительных чисел, лишь заменяя i ² на -1 и объединяя отдельно члены, содержащие i и не содержащие i. Числа а и b называют соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа

Пример. Даны комплексные числа Найти: а) сумму б) разность в) произведение г) частное

Решение:

а)

б)

в)

г)

Пример. Записать в алгебраической форме число

Решение:

Дата добавления: 2015-10-23