Извлечение корня из комплексного числа

Число называется корнем п-ой степени из комплексного числа z, если Например, числа - i, i являются корнями второй степени из числа -1, так как Если z = 0, то – единственный корень п -ой степени.

Теорема. Для любого комплексного числа существует ровно п корней п -ой степени, которые определяются по формуле:

Доказательство: Пусть Тогда

Отсюда

Возведя обе части каждого равенства в квадрат и сложив полученные равенства, получим:

(арифметический корень).

Из условия имеем

т.е.

■

Для k = 0, 1, 2, 3,..., п -1 получаются различные значения чисел а для каждого из остальных значений будет получаться одно из этих чисел.

Отсюда следует, что все числа имеют равные модули но различные главные аргументы, отличающиеся друг от друга на величину Числа , следовательно, соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного п -угольника, вписанного в круг радиуса с центром в начале координат.

Пример. Найти все корни четвертой степени из числа 16 i.

Решение: Поскольку то применяя формулу для извлечения корней, получаем

Следовательно,

Пример. Вычислить

Решение: Пусть Тогда т.е. Если то Если то

Ответ:

Упражнения и задачи

Вычислить квадратные корни из чисел:

а) б) в)

Найти все значения следующих корней:

а) б) в) г)

Найти:

а) б)

Решить уравнение:

а) б) в) г) д)

Корни из 1

По формулам извлечения корней все п корней п -ой степени из 1 можно записать в виде:

т.е. все они являются степенями одного корня

Теорема. Множество всех корней из 1 образуют мультипликативную группу.

Доказательство: Пусть Тогда т.е. множество замкнуто относительно умножения, выполняется и аксиома ассоциативности (она выполняется для всех комплексных чисел, а, следовательно, и для корней из 1). Так как то это множество содержит нейтральный элемент относительно умножения. Ясно, что если то также, т.е. для любого элемента из элемент тоже принадлежит этому множеству. ■

Теорема. Множество всех корней п -ой степени из 1 образуют конечную мультипликативную группу.

Доказывается аналогично предыдущей теореме. ■

Пример. Найти все корни третьей степени из 1.

Решение: Поэтому

Все корни п -ой степени из 1 изображаются точками, лежащими на окружности радиуса 1 с центром в О и делящими эту окружность на п равных частей.

Пример. Доказать тождество

Доказательство: Это уравнение имеет корней, корней из 1, т.е. его корни:

Пример. Найти сумму всех корней п -ой степени из 1.

Решение: Пусть Тогда все корни п -ой степени из 1 можно представить в виде Отсюда сумма всех корней равна

Ответ: 0.

Пример. Найти произведение всех корней п -ой степени из 1.

Решение: Разобьем все сомножители, отличные от 1 и -1, на пары взаимно обратных чисел. Произведение чисел каждой пары равно 1. Если п четно, то все произведение равно 1, а если п нечетно, то -1.

Ответ:

Дата добавления: 2015-10-23