Выберите правильный ответ. 1. Характеристической функцией случайной величины X называется функция

1. Характеристической функцией случайной величины X называется функция

1) e^itx+ e^-itx

2) M ( cos tx)+M ( sin tx)

3) M ( cos tx)+iM ( sin tx)

4) M ( cos tx)-iM ( sin tx)

2. Характеристической функцией дискретной случайной величины X является функция g(t):

3. Характеристической функцией непрерывной случайной величины X является функция g(t):

4. Если СВ Х и Y связаны соотношением Y=аХ, то:

1) g_x(t)=g_x(a+t)

2) g_x(t)=g_x(a-t)

3) g_x(t)=g_x(a/t)

4) g_x(t)=g_x(a×t)

5. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна ________характеристических функций слагаемых.

1) сумме

2) разности

3) произведению

4) частному

Xi
pi	0,5	0,5

6. Характеристическая функция дискретной случайной величины, заданной законом распределения равна

1) 0,5(e^2it+ e^5it)

2) (2e^itx+ 5e^-itx)

3) 0,5e^7it

4) (e^2it- e^5it)

7. Характеристическая функция случайной величины, равномерно распределенной на интервале (1,3) равна

1) (e^3it- e^it)/2it

2) (e^it+ 3e^-it)

3) 2e^4it

4) (e^it- e^3it)

8. Характеристическая функция дискретной случайной величины, заданной законом распределения равна

Xi
pi	0,2	0,8

1) (e^0,2it+ e^0,8it)

2) (0,2e^itx+ 0,8e^-itx)

3) e^it

4) 0,8+0,2e^it

9. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание М(Х), и дисперсию D(X) справедливо неравенство (Чебышева):

10. Для вероятности противоположного события справедливо неравенство (Чебышева):

11. Для числа успехов m при независимых испытаниях по схеме Бернулли имеет место неравенство:

12. Для относительной частоты появления события m/n при независимых испытаниях по схеме Бернулли имеет место неравенство:

13. Вероятность отклонения случайной величины Х с любым законом распределения от своего математического ожидания не меньше, чем на 3s равна

1) 1/9

2) 1/6

3) 1/3

4) 1

14. Вероятность отклонения случайной величины Х с нормальным законом распределения от своего математического ожидания больше, чем на 3s равна

1) 1

2) 0,5

3) 0,3

4) 0,0027

15. Теорема Чебышева формулируется следующим образом:

1) Среднее арифметическое большого числа случайных величин с вероятностью, сколь угодно близкой к 0 будет мало отклоняться от среднего арифметического математических ожиданий

2) Дисперсия большого числа случайных величин с вероятностью, сколь угодно близкой к 0 будет мало отклоняться от среднего арифметического дисперсий

3) Среднее арифметическое большого числа случайных величин с вероятностью, сколь угодно близкой к 1 будет мало отклоняться от среднего арифметического математических ожиданий

4) Среднее арифметическое большого числа случайных величин с вероятностью, сколь угодно близкой к 1 будет сильно отклоняться от среднего арифметического математических ожиданий

16. Теореме Бернулли соответствует формула:

17. Теореме Пуассона соответствует формула:

18. Закон больших чисел свидетельствует о том, что при больших n

1) среднее значение независимых и одинаково распределенных случайных величин мало отличается от постоянной, равной их математическому ожиданию

2) дисперсия независимых и одинаково распределенных случайных величин мало отличается от постоянной, равной их математическому ожиданию

3) среднее квадратическое отклонение независимых и одинаково распределенных случайных величин мало отличается от постоянной, равной их математическому ожиданию

4) среднее значение независимых и одинаково распределенных случайных величин мало отличается от постоянной, равной их среднему квадратическому отклонению

19. Центральная предельная теорема (ЦПТ) в различных ее формах устанавливает условия, при которых возникает _____распределение

1) равномерное

2) показательное

3) биномиальное

4) нормальное

20. Локальной теореме Муавра-Лапласа соответствует формула:

21. Интегральной теореме Муавра-Лапласа соответствует формула:

22. Вероятность того, что при 100 бросаниях монеты герб появится 50 раз равна

1) 0,0354

2) 0,05

3) 0,0798

4) 0,5

Основные понятия и положения темы.

Лемма Чебышева: Если С.В. Х принимает только неотрицательные значения с математическим ожиданием М(Х), то для любого a>0 имеет место неравенство:

Неравенство Чебышева: Для любой С.В. Х, имеющей математическое ожидание М(Х), и дисперсию D(X) справедливо неравенство:

где a–любое положительное число. Справедливо для ДСВ и НСВ. Это неравенство ограничивает сверху вероятности больших отклонений С.В. от ее математического ожидания.

Для вероятности противоположного события справедливо неравенство:

где a-любое положительное число. Это неравенство позволяет вычислить нижнюю границу вероятности. Если произведено n независимых испытаний по схеме Бернулли, где р - вероятность успеха, q - вероятность неудачи, n - число опытов, m -число успехов. Для С.В. m имеет место неравенство:

M(X)=np, D(X)=npq. Для относительной частоты появления события m/n аналогично:

Теорема Чебышева 1. Пусть X1, X2, …, Xn – последовательность попарно независимых С.В., имеющих конечные математические ожидания и дисперсии, ограниченные сверху постоянной C=const (D(Xi)£C, (i=1, 2, …, n)). Тогда для любого a>0,

Среднее арифметическое большого числа С.В. с вероятностью, сколь угодно близкой к 1 будет мало отклоняться от среднего арифметического математических ожиданий.

Теорема Чебышева 2. Пусть X1, X2, …, Xn – неограниченная последовательность попарно независимых С.В., имеющих различные математические ожидания и дисперсии, ограниченные сверху постоянной C=const (D(Xi)£C, (i=1, 2, …, n)). Тогда для любого a>0, и d-произвольной малой величины:

Разность между средним арифметическим наблюдаемых значений С.В. и средним арифметическим их математических ожиданий сходится по вероятности к 0.

Следствие 1 (теорема Бернулли). Пусть проводят испытания Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p и m - число успехов в n испытаниях, тогда для произвольного положительного числа ε

При неограниченном возрастании числа n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, частота события сходится по вероятности к его вероятности р.

Таким образом устанавливается связь между относительной частотой появления события А и постоянной вероятностью p в серии из n независимых испытаний.

Следствие 2 (теорема Пуассона). Если в последовательности независимых испытаний вероятность появления события А в каждом испытании различна, то

где m – число появлений события А в серии n испытаний.

При n ® ¥ разность между частотой событий А и средним арифметическим его вероятностей сходится по вероятности к 0. Утверждения получили название закона больших чисел (ЗБЧ). Фактически они свидетельствуют о том, что при больших n среднее значение независимых и одинаково распределенных случайных величин мало отличается от постоянной, равной их математическому ожиданию.

Центральная предельная теорема (ЦПТ) в различных ее формах устанавливает условия, при которых возникает нормальное распределение и нарушение которых ведет к распределению, отличному от нормального.

Теорема 1. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления события А равна p (q=1- p, p≠0, p ≠1). Если X-число появления события А в серии из n испытаний, то при достаточно большом n С.В. Х можно считать нормально распределенной.

M(X)=np,

Примером ЦПТ для независимых С.В. является интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема (локальная, Муавра-Лапласа). Пусть имеем схему Бернулли При больших n, Рn(k) аппроксимируется следующим выражением:

Рn(k) @ где x=

Дата добавления: 2015-07-08