Вставьте в логической последовательности номера ответов

22. Коэффициент корреляции ________, а ковариация __________.

1) имеет размерность, равную произведению размерностей X и Y

2) безразмерный коэффициент

23. Коэффициент корреляции характеризует степень ­­­­­_______зависимости случайных величин X и Y

1) линейной

2) нелинейной

Основные понятия и положения темы.

Если события A и B зависимы, то условная вероятность события A отличается от его безусловной вероятности

Аналогично для случайных величин. Введем понятие условного распределения. Рассмотрим двумерную ДСВ {X,Y}, Возможные значения составляющих(x1, x2, …, xn; y1, y2, …, yn)Пусть в результате опыта величина Y приняла значение y1, при этом Х примет одно из своих возможных значений: x1, x2, …, xn.

Условным распределением составляющей Х при Y=yj называют совокупность условных вероятностей p(x1/yj), p(x2/yj), …, p(xn/yj), вычисленных при условии, что событие Y=yj, (j=const при всех значениях Х) уже наступило. Аналогично для Y. Зная закон распределения двумерной ДСВ, можно найти законы распределения составляющих.

P(xi/yj)= p(xi,yj)/p(yj); P(yi/xj)= p(xi,yj)/p(xj).

Рассмотрим двумерную НСВ {X,Y}. Условной плотностью φ(x/y) распределения составляющей Х при данном значении Y=yj называют отношение плотности совместного распределения f (x,y) системы (X,Y) к плотности распределения f2(y) составляющей Y: φ(x/y)= f (x,y)/ f2(y)

Аналогично для Х: φ(y/x)= f (x,y)/ f1(x)

Если известна плотность совместного распределения f (x,y), то условные плотности составляющих могут быть найдены по формулам:

Условным математическим ожиданием ДСВ Y при X=x называется произведение возможных значений Y на их условные вероятности:

Условное математическое ожидание НСВ, где ϕ(y/x) - условная плотность СВ Y при X=x.

Условное математическое ожидание М(Y/x) является функцией от x:

М(Y/x)=f(x) – функция регрессии Y на X. Аналогично: М(X/y)=φ(y) – функция регрессии X на Y.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины X и Y называются зависимыми.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если

1. функция распределения системы (XY) равна произведению функций распределения составляющих: F(x,y)=F1(x) F2(y).

2. плотность распределения системы (XY) равна произведению плотностей распределения составляющих: f(x,y)=f1(x) f2(y).

В качестве числовых характеристик систем двух СВ рассматривают начальные и центральные моменты различных порядков.

Начальным моментом порядка k,s системы двух СВ (XY) называется произведение математических ожиданий X^k на Y^s:

a_k,s=M [X^kY^s]

Центральным моментом порядка k,s системы двух СВ (XY) называется произведение математических ожиданий (X-M(X))k на (Y-M(Y))s:

µ_k,s=M [(X-M(X)]^k [(Y-M(Y)]^s

Порядком начального или центрального момента называется сумма его индексов k+s. Начальные моменты первого порядка a_1,0 и a_0,1 представляют собой математические ожидания M(X) и M(Y). Центральные моменты первого порядка равны 0. Центральные моменты второго порядка равны:

µ_2,0=M [(X-M(X)]² [(Y-M(Y)]⁰=D(X)

µ_0,2=M [(X-M(X)]⁰ [(Y-M(Y)]²=D(Y)

Центральный момент µ_1,1 называется ковариацией (корреляционным моментом). Корреляционным моментом (ковариацией) K_xy СВ X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин от математического ожидания:

K_xy= cov_xy=М{[X-M(X)][Y-M(Y)]}=

Для ДСВ:

Для НСВ:

K_xy= K_yx. Ковариацию можно определить через начальные моменты низших порядков:

K_xy= a_1,1 - a_1,0 ·a_0,1

K_xy=M(XY)-M(X)M(Y)

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий. Ковариация двух независимых случайных величин равна 0.

Свойства коэффициента корреляции:

1. |r_xy|≤1 или -1 ≤ r_xy≤1

2. Если r_xy=±1, то СВ линейно зависимые (y=a+bx)

3. Если r_xy=0, то СВ некоррелированы, что не означает их независимости вообще (может быть нелинейная зависимость)

Коэффициент корреляции двух независимых случайных величин равен 0

Нормированная случайная величина равна отклонению от математического ожидания к средне квадратическому отклонению:

X’=(X–M(X))/ s_x

Математическое ожидание нормированной СВ равно 0, дисперсия=1. Коэффициент корреляции r_xy равен корреляционному моменту нормированных величин X’ и Y’: M(X’ Y’)=Кx’ y’. Абсолютная величина корреляционного момента двух СВ X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Модуль коэффициента корреляции |r_xy| характеризует степень тесноты линейной зависимости между ними (слабая, средняя, сильная). Если между СВ X и Y существует жесткая линейная связь: Y=a+bX, то r_xy=1 при b>0 и r_xy=-1 при b<0.

5.3.Самостоятельная работа по теме:

решение типовых задач по теме занятия.

5.4.Итоговый контроль знаний:

1. ответы на вопросы по теме занятия;

2. решение ситуационных задач, тестовых заданий по теме.

Контрольные вопросы:

1. Что называется условным распределением составляющей случайной величины?

2. Как определяются условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин?

3. Как определяются условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин?

4. Как определяются условные математические ожидания?

5. При каких условиях случайные величины являются независимыми?

6. Как определяются начальные и центральные моменты различных порядков систем двух случайных величин?

7. Чему равны начальные моменты первого порядка двух случайных величин?

8. Чему равны центральные моменты первого порядка двух случайных величин?

9. Что называется корреляционным моментом (ковариацией) двух случайных величин?

10. Запишите формулы корреляционного момента (ковариации) двух дискретных и непрерывных случайных величин;

11. Как определить ковариацию двумерной случайной величины через начальные моменты низших порядков?

12. Чему равна ковариация двух независимых случайных величин?

13. Что характеризует корреляционный момент (ковариация) двух случайных величин?

14. Что называется коэффициентом корреляции двух случайных величин?

15. Какова размерность коэффициентов корреляции и ковариации?

16. Какую зависимость между двумя случайными величинами характеризует коэффициент корреляции?

17. Перечислите свойства коэффициента корреляции;

18. Как вычисляется нормированная случайная величина?

Ситуационные задачи по теме:

1. В таблице представлено распределение ДСВ (X,Y). Найти безусловные и условные законы (Х=х_i) распределения СВ. Найти условные математические ожидания при Х=х_i. Построить линию регрессии Y/x. Составить ковариационную и корреляционную матрицу. Записать вывод.

Х Y
	0,3	0,15	0,2
	0,15	0,1	0,1

2. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения:

f(x,y)= 1/2p при x²+y²<4

0 при x²+y²>4

Найти а)двумерную плотность распределения системы б)плотности и условные плотности составляющих системы в)условное математическое ожидание М(Y/X=x) в)корреляционный момент и коэффициент корреляции.

3. Непрерывная двумерная СВ равномерно распределена внутри треугольника с вершинами O (0,0), A(0,4) и B(4,0). Найти а)двумерную плотность распределения системы б)плотности и условные плотности составляющих системы в)корреляционный момент и коэффициент корреляции.

6.Домашнее задание для уяснения темы занятия (ответить на контрольные вопросы и тестовые задания, решить ситуационные задачи по теме«Функции случайных величин», см. методические указания для обучающихся, к внеаудиторной работе, тема № 18).

7. Список тем по НИРС:

Анализ зависимостей систем случайных величин.

Дата добавления: 2015-07-08