Решение дифференциальных уравнений

Достаточно большое количество задач описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

(*)

К такому типу относятся уравнение второго закона Ньютона, уравнение для силы тока в электрической цепи и т.д. Так, напри­мер, если на материальную точку действуют две силы (сила тяжести и сила трения, пропорциональная скорости движения), то по второму закону Ньютона

где т - масса тела, а - ускорение, g - ускорение свободного падения, v – ­скорость движения, k - коэффициент пропорциональности. Данное уравнение можно переписать следующим образом:

,

где x – координата.

Это уравнение будет иметь вид (*), если принять, что

.

Решать дифференциальные уравнения можно аналитически, (то есть, получая решение в виде формулы), или численно, получая в качестве реше­ния, например, фазовую диаграмму рассматриваемого процесса, то есть графическое изображение зависимости скорости v (или ) от коорди­наты или, в более общем случае, зависимость скорости изменения параметра от зна­чений данного параметра.

Для построения численного решения дифференциального уравнения второго порядка можно воспользоваться методом Рунге-Кутта, реализуе­мого с помощью следующих формул:

,

,

где – шаг, а коэффициенты рассчитываются по формулам:

,

,

,

.

Перед началом вычислений следует ввести начальные условия, то есть определить значения и для начального момента времени .

В качестве примера рассмотрим уравнение затухающих колебаний:

при начальных условиях , .

В рабочем поле Mathcad решение данного уравнения выглядит так:

Число - счетчик шагов программы. Оно должно быть достаточно большим (чем меньше на фиксированном интервале, тем большим должно быть ). Отметим несколько нюан­сов приведенного алгоритма. Во-первых, перед вводом алгоритма решения в Mathcad исходное уравнение было приведено к стандартному виду, что­бы получить выражение функции в явном виде. Во-вторых, при определении функции можно опустить параметры, от которых данная функция не зависит. В приведенном выше примере опу­щен один параметр - время, так как не зависит явно от времени.

Дата добавления: 2015-07-08