Задача о положениях звеньев

Метод преобразования координат

Проиллюстрируем этот метод на примере определения положения звеньев плоского механизма манипулятора, полученного из незамкнутой кинематической цепи (рис. 2.13). Число степеней подвижности манипулятора

W =3n –2p₅ – p₄ = 3·3 – 2·3 = 3.

Рис. 2.13. Схема систем координат для определения положения точки В.

Дано: длины звеньев l₁ = ОА, l₂ = АВ, и координаты произвольно выбранной точки С₃(X_С3,Y_С3) в подвижной системе координат X₃ВY₃, связанной со звеном 3, а также углы φ₁₀ , φ₂₁ , φ₃₂ . В индексах первым указан номер звена, к

которому относится угол поворота, вторым – номер звена, от которого угол поворота отсчитывается.

Требуется: определить координаты точки В относительно неподвижной системы координат X₀OY₀ (стойки).

На рис. 2.13 показаны три системы координат. Система координат X₀OY₀ неподвижна, связана со стойкой и исходит из точки О.

Система X₁ОY₁ подвижна, связана со звеном 1 и исходит из точки О. Система X₁ОY₁ повернута относительно системы X₀OY₀ на угол φ₁₀ .

Система координат X₂АY₂ подвижна, связана со звеном 2 и исходит из точки А. Система X₂АY₂ повернута относительно системы X₁OY₁ на угол φ₂₁ . Начало координат системы X₂АY₂ смещено относительно точки О вдоль оси X₁ на расстояние l₁.

Система X₃ВY₃ повернута относительно системы X₂АY₂ на угол φ₃₂ и смещена вдоль оси X₂ на расстояние l₂.

Если ввести в рассмотрение точки С₀, С₁, С₂ , которые в данный момент времени совпадают с точкой С₃, но принадлежат соответственно звеньям О (стойка), 1 , 2, то получим систему уравнений преобразования координат:

из системы X₃ВY₃ в X₂АY₂

Х_{С 2} = Х_{С 3}∙cos φ₃₂ – Y_{C 3}∙sin φ₃₂ + l₂ ;

Y_{C 2} = Х_{С 3}∙ sin φ₃₂ + Y_{C 3} ∙cos φ₃₂ .

Из системы X₂АY₂ в X₁ОY₁

Х_{С 1} = Х_{С 2}∙cos φ₂₁ – Y_{C 2}∙sin φ₂₁ + l₁ ;

Y_{C 1} = Х_{С 2}∙ sin φ₂₁ + Y_{C 2} ∙cos φ₂₁ .

Из системы X₁0Y₁ в неподвижную систему X₀0Y₀

Х_{С 0} = Х_{С 1}∙cos φ₁₀ – Y_{C 1}∙sin φ₁₀ ;

Y_{C 0} = Х_{С 1}∙ sin φ₁₀ + Y_{C 1} ∙cos φ₁₀ .

Решение системы шести линейных уравнений с шестью неизвестными позволяет найти координаты точки С₀ в неподвижной системе координат (Х_С0, Y_С0). При решении этой задачи на ЭВМ удобно эту систему уравнений представлять в матричной форме.

Дата добавления: 2015-07-07