Основные методы уменьшения дисперсии оценки

Как видно из представленных в подразд. 3.3 соотношений, уменьшение дисперсии используемой при статистическом моделировании оценки искомой характеристики позволит пропорционально снизить количество опытов, необходимых для получения результата с заданной точностью.

Рассмотрим наиболее известные методы уменьшения дисперсии оценки на примере задачи определения математического ожидания некоторого показателя качества динамической системы со случайными параметрами.

Модель динамической системы задается в виде системы уравнений

, i= 1,2,..., n, (5.1)

где X (t)=(X ₁(t), X ₂(t),…, X_n (t)) - вектор переменных состояния системы; V =(V ₁, V ₂,…, V_m) - вектор случайных параметров. Качество системы характеризуется мгновенным значением переменной состояния X ₁ в момент времени t ₁. Таким образом, задача сводится к оценке математического ожидания m_x = M [ X ₁(t, V)].

При использовании стандартной схемы статистического моделирования оценка m_x для заданной m- мерной ПРВ вектора случайных параметров f_v (V) определяется по формуле (3.2), а необходимое для обеспечения заданной точности количество опытов - по формуле (3.19).

5.1.1. Метод выделения главной части

Решение системы (5.1) X ₁(t, V), которое, возможно, не может быть найдено аналитически, заменяют приближенным выражением Y (t, V), удобным для аналитических преобразований. Например:

или для единственного случайного параметра

,

где a_j (t), b_jk (t) - некоторые функции времени.

Вводится новая переменная состояния Z (t, V) =X ₁(t, V) -Y (t, V) и в системе уравнений (5.1) выполняется замена переменной X ₁ на Z путем подстановки:

,

или

,

.

Оценка искомого математического ожидания определяется в виде:

m_x=M [ Y (t ₁, V)] +M [ Z (t ₁, V)],

где первое слагаемое может быть найдено аналитически:

,

G - область возможных значений вектора V, а второе слагаемое определяется по методу статистического моделирования на основе многократного решения полученной новой системы уравнений до момента времени t ₁: , , V ^{( i )} - i- я реализация вектора случайных параметров, N - количество решений системы уравнений для различных V ^{( i )}.

При удачном выборе функции Y (t, V) дисперсия случайной величины Z (t ₁, V) может оказаться существенно меньше, чем дисперсия X ₁(t ₁, V), что и приведет к сокращению требуемого количества опытов.

Пример. Рассмотрим достаточно простой пример, все необходимые расчеты для которого могут быть выполнены точно на основе аналитических решений. Пусть требуется определить математическое ожидание выходного сигнала X апериодического звена 1-го порядка через 1с после подачи на вход сигнала 1(t). Коэффициент передачи звена k= 4. Постоянная времени и начальное значение выходного сигнала - случайные: , X (0) =V ₂. Параметр V ₁ распределен по равномерному закону в интервале [0; 1], параметр V ₂ - по равномерному закону в интервале [1; 2], V ₁ и V ₂ статистически независимы. Допустимая абсолютная погрешность результата e _доп = 0,01.

Искомое математическое ожидание m_x=M [ X (1)], дисперсия D [ X (1)] и необходимое количество опытов могут быть оценены на основе статистического моделировани или определены аналитически.

Сначала получим точное решение задачи. Изменение сигнала X во времени описывается дифференциальным уравнением

. (5.2)

Решение (5.2) имеет вид: .

Для t= 1с учетом статистической независимости параметров V ₁ и V ₂ получим:

,

,

.

С учетом известной D [ X (1)] по (3.19) оценим количество опытов, необходимое для оценки m _x методом статистического моделирования с погрешностью, не превышающей e _доп (при доверительной вероятности 0,997):

.

При решении этой же задачи методом статистического моделирования на основе итерационного алгоритма (с. 65) получены следующие оценки (БЭЙСИК, IBM PC, объем начальной серии опытов n ₀ = 500):

, , .

В процессе решения фактически выполнено опытов.

Применим теперь к этой задаче метод выделения главной части. Приближенное решение уравнения (5.2) выберем в виде

Y (t, V) = (V ₂ -k)(1 -V ₁ t) +k. (5.3)

Его математическое ожидание при t= 1 легко вычисляется аналитически:

M [ Y (1)]=(M [ V ₂] - k)(1 -M [ V ₁]) +k = (1,5 - 4)(1 - 0,5)+4=2,750.

Выполним в уравнении (5.2) замену переменной:

X=Z+V ₂ +kV ₁ t-V ₁ V ₂ t,

.

Получим новое уравнение , аналитическое решение которого имеет вид: .

Для t= 1интегрированием аналитического решения получим:

M [ Z (1)] = - 0,331, D [ Z (1)] = 0,0796, .

Таким образом, представляется возможным для рассматриваемой задачи путем выделения главной части в виде (5.3) сократить трудоемкость статистического моделирования в раза.

При контрольном статистическом моделировании на основе использованного выше алгоритма получены следующие оценки: , , , .

В процессе решения фактически выполнено опыта. На практике трудоемкость моделирования сокращена в раза.

Выберем другой вариант приближенного решения уравнения (5.2)

.

Для него получим:

M [ Y (1)]=2,125,

,

,

,

.

На основе аналитического решения для t= 1: M [ Z (1)]=0,294, D [ Z (1)]=0,0124, - и ожидаемый выигрыш в количестве опытов в раз.

При контрольном статистическом моделировании здесь были получены следующие оценки: , , , , фактическое количество опытов и выигрыш в трудоемкости в раза.

5.1.2. Метод существенной выборки

Преобразуем общее соотношение для определения математического ожидания m_x=M [ X ₁(t ₁, V)] по генеральной совокупности следующим образом:

. (5.4)

Из соотношения (5.4) следует, что искомое математическое ожидание m _x совпадает с математическим ожиданием новой функции , для которой вектор случайных параметров V имеет плотность распределения вероятностей . Это математическое ожидание может быть определено на основе статистического моделирования:

. (5.5)

Причем при удачном выборе функции p (V) дисперсия оценки (5.5) может оказаться существенно ниже, чем дисперсия оценки m _x по (3.2).

Функция p может иметь в качестве аргументов только часть случайных параметров задачи. В любом случае она должна удовлетворять условию:

. (5.6)

Для достижения наибольшего эффекта функцию p (V) следует выбирать приблизительно пропорциональной X ₁(t ₁, V) f_V (V) [17].

Пример. Выберем для рассмотренного выше примера функцию p в виде

(5.7)

Из условия (5.6) найдем коэффициент a:

, .

Задача оценки m _x сводится к оценке математического ожидания новой случайной функции

,

где X (1) - решение уравнения (5.2) при t= 1, параметр V ₁ должен иметь распределение (5.7), а параметр V ₂ - исходное распределение, равномерное в интервале [1; 2].

Точное значение дисперсии функции Y (1) может быть найдено следующим образом:

,

. (5.8)

Значение интеграла (5.8) может быть получено только численным интегрированием и составляет . В результате D [ Y (1)]=0,0452, требуемое количество опытов для оценки M [ Y (1)] на основе статистического моделирования с заданной точностью и ожидаемый выигрыш в трудоемкости - в раза. Отметим, что закон распределения (5.7) не поддается воспроизведению по методу обратных функций. Следовательно, генератор для случайного параметра V ₁ придется строить, например, по методу Неймана, и в результате выигрыш в общей трудоемкости решения задачи окажется несколько ниже.

При контрольном статистическом моделировании с использованием генератора, построенного по методу Неймана, здесь были получены следующие оценки: , , , фактическое количество опытов при 6194 обращениях к генератору случайных чисел и выигрыш в трудоемкости в 4,2 раза.

Для сравнения отметим, что при выборе

аналогичном успешно использованному выше выбору главной части, получим D [ Y (1)]=0,8932, и рассмотренный метод дает значительный отрицательный эффект.

5.1.3. Метод расслоенной выборки (выборка по группам)

В соответствии с данным методом область G возможных значений случайного вектора разбивается на K непересекающихся областей G_k: . Метод предполагает проведение статистического моделирования для каждой из областей G_k с использованием для вектора случайных параметров плотностей распределения вероятностей

, (5.9)

где p_k - вероятность попадания случайного вектора V в область G_k:

.

Если для области G_k выполним N_k опытов, получим оценку математического ожидания искомого показателя для данной области:

.

Результирующая оценка должна рассматриваться как дискретная случайная величина, значения которой наблюдаются с вероятностями p_k. Тогда результирующая оценка определяется усреднением:

. (5.10)

Общее количество опытов N = N ₁ +N ₂ +…+N_K.

Соответствующие аналитические соотношения для генеральной совокупности с учетом (5.9) имеют вид

.

Определим дисперсию оценки (5.10), имея в виду, что все слагаемые - независимые случайные величины [10, 20]:

. (5.11)

Дисперсия случайной величины может быть оценена по результатам статистического моделирования или определена аналитически следующим образом:

,

,

.

Введя в рассмотрение доли от общего количества опытов, соответствующие областям G_k, , на основе (5.11) и (3.19) получим соотношение для определения количества опытов, необходимого для получения результата с погрешностью не выше e _доп:

,

. (5.12)

При удачном разбиении области G и удачном выборе соотношения количества опытов для отдельных областей G_k дисперсия оценки (5.10) может быть существенно снижена. Из теории [17] известно, что оптимальные по критерию минимума дисперсии (5.11) значения q_k должны быть пропорциональны произведениям . На практике значения дисперсий для отдельных областей, как правило, априорно неизвестны. Поэтому значения q_k выбираются на основе предварительного анализа задачи или непосредственно в процессе статистического моделирования на основе соответствующей модификации итерационного алгоритма определения необходимого количества опытов.

Пример. Разобьем для рассмотренного выше примера область возможных значений параметра V ₁ на две части: и . Тогда p ₁ =p ₂ = 0,5, в пределах соответственно G ₁ и G ₂. Выберем , .

На основе аналитических решений получим:

, , ,

, , ,

,

прогнозируемое в соответствии с (5.12) количество опытов, необходимое для обеспечения заданной точности, и ожидаемый выигрыш в трудоемкости в 2,8 раза.

При статистическом моделировании для начальной серии опытов были приняты q ₁ =q ₂ = 0,5, которые уточнялись вместе с N_треб на каждом цикле итерационного алгоритма с учетом получаемых оценок дисперсий. Получены следующие результаты: , , , , , , фактическое общее количество опытов и достигнутый выигрыш в трудоемкости в 2,4 раза.

В заключение отметим, что в общем случае рассмотренные методы не дают гарантированного положительного эффекта. Как видно даже из рассмотренного простейшего примера, эффективность их применения определяется точностью прогнозирования результатов решения задачи. В наибольшей степени это характерно для методов выделения главной части и существенной выборки. Поэтому для сложных моделей, где точное прогнозирование результатов затруднительно, наиболее удобным оказывается метод выборки по группам.

Дата добавления: 2015-11-04