Цепей (тестовых заданий)

Пример 1

Задано разностное уравнение:

y(n)=a₀x_(n)+a₁x_(n-1)+a₂x_(n-2)+a₃x_(n-3) (63)

1 Записать передаточную функцию H(z) цепи.

Для уравнения (63) найдем его z-преобразование:

Y(z)=a₀z_(z)+a₁z^-1x_(z)+a₂z^-2x_(z)+a₃z^-3x_(z) (64)

По определению, z – преобразование функции передачи равно отношению z – преобразования отклика цепи Y(z) к z – преобразованию входного воздействия x_(z):

(65)

2 Записать АЧХ дискретной цепи (63), полагая a₀=a₁=a₂=a₃=1.

Пусть входная последовательность представляет собой отсчеты комплексной экспоненты:

(66)

Выходная последовательность y_(n) равна дискретной свертке входной последовательности x_(n) и дискретной импульсной характеристики ЛДС h_(n):

= (67)

Здесь H() – комплексная частотная характеристика дискретной цепи.

(68)

Допустим, что входной сигнал – отсчеты гармонической функции амплитуды A, частоты ω₀, начальной фазы :

(69)

(70)

(71)

Выходной сигнал y₁(n) на x₁(n) равен:

(72)

Выходной сигнал y₂(n) на x₂(n) равен:

(73)

Отсчеты выходной последовательности y(n) равны сумме y₁(n) и y₂(n)

(74)

Учитывая, что и - комплексно-сопряженные функции, можно записать:

(75)

Пусть - частота Найквиста

- интервал дискретизации, выбранный в соответствии с теоремой Котельникова для сигнала с ограниченным спектром.

(76)

где - круговая частота дискретизации.

Обозначим нормированную частоту

произведение:

(77)

Выразим из (75) Tg и подставим (77):

(78)

Определим комплексную частотную характеристику ЛДС как функцию частоты :

(79)

Для разностного уровня (63) при заданных исходных данных комплексная частотная характеристика дискретной цепи равна

(80)

где h(n) – дискретная импульсная характеристика.

(81)

		n

Рисунок 3 – График дискретной импульсной

характеристики ЛДС, N =4

(82)

Формула (82) получена на основе вычисления суммы геометрической прогрессии.

		Ω

Рисунок 4 – График АЧХ ЛДС (пример 2)

Пример реализации фильтра Баттерворта 3^го порядка

Аналоговый прототип Фильтра Баттерворта 3^го порядка имеет квадрат модуля комплексного коэффициента передачи:

|H(jΩ)|² = = H(jΩ)·H(-jΩ) (1)

Произведение операторного коэффициента передачи H(S) на зеркальную функцию H(-S) будет иметь вид:

H(S) H(-S) = (2)

P_k=jΩ_k=je^j , k= 1,2,3,4,5,6

+jω

Корни P_k для этого фильтра на комплексной плоскости расположены на окружности единичного радиуса:

Рисунок 1 – Расположение полюсов аналогового фильтра

на комплексной плоскости

Первые три полюса P₁, P₂, P₃ расположены в левой полуплоскости. В соответствии с условиями физической реализуемости, они принадлежат передаточной функции H(p).

Полюса P₄, P₅, P₆ расположены в правой полуплоскости и принадлежат зеркальной функции H(-P).

Следовательно:

H(S)= , (3)

где P₁=- ;

P₂=-1;

P₃=-

Подставим значения, получим формулу для операторного коэффициента передачи в следующем виде:

H(S)= (4)

Используем билинейное преобразование для перехода от операторного коэффициента передачи к Z-преобразованию функции передачи фильтра:

P=2f_g (5)

где f_g – частота дискретизации.

Пусть частота среза фильтра определяется равенством:

f_c=0,2 f_g (6)

S=jΩ=j =j =j (7)

S= (8)

на частоте функция передачи будет иметь вид:

H(P)= = (9)

Подставив в (9) (5) и (6) получим:

H_(Z)= (10)

X=

После упрощения (10) будет иметь вид:

H_(Z)=

Этой функции соответствует структурная схема рисунок 2.

X_(k) Y_(k)

Рисунок 2 – Структурная схема цифрового фильтра

Баттерворта 3^го порядка с f_c=02fg

Проверим с помощью пакета MATLAB 6.5, что эта структурная схема действительно соответствует фильтру Баттерворта.

>> в = [ ] % вектор коэффициентов числителя Z - преобразования функции передачи;

>> а = [ ] % вектор коэффициента знаменателя той же функции;

>> f gz(в,а).

Пример:

Фильтр Баттерворта 3^го порядка с частотой среза f_c=0,2fg или f_N= , f_c=0,4f_N,

где f_c – частота среза ФНЧ (граница ПП);

f_g = - частота дискретизации;

f_N – частота Нейквиста

имеет Z-преобразование передаточной функции, полученное с помощью билинейного преобразования:

H_(Z)= =

При расчете по этому оператору по умолчанию используются нормированные значения частот, измеряемые в радианах на отсчет. При такой нормировке частота дискретизации равна 2π, а частота Найквиста (максимальная частота спектра сообщения) равна π. При этом число частотных точек равно 512 на интервале 0/π с постоянным частотным шагом. [с. 218, 1]

Варианты заданий

Вариант 1

Дата добавления: 2015-11-03