Для описания нелинейных цепей

При использовании дифференциальных уравнений, описывающих динамические процессы в нелинейных цепях, для расчетов как переходных, так и периодических процессов, возникает необходимость выяснить, при каких условиях нелинейные цепи можно описывать с помощью переменных состояния, а также определить способы формирования уравнений состояния этих цепей.

Напомним, что в линейной цепи переменные состояния i _L и u _c однозначно определяют токи и напряжения всех остальных ветвей.

Можно установить, что в нелинейной цепи с неоднозначными (немонотонными) характеристиками элементов такой однозначности может не быть.

Рассмотрим в качестве примера простую цепь, состоящую из конденсатора с параллельно включенным нелинейным резистором (рис.18.2,а). Пусть нелинейный элемент имеет S-образную характеристику u _н (i _н), управляемую током (рис.18.2, б).

Рис. 18.2

Тогда уравнение цепи имеет вид:

т.е. содержит две переменные: u _c и ток нелинейного резистора i _н.

Анализ физических процессов в такой цепи позволяет сделать следующие выводы:

1) напряжение u _c нельзя принять за переменную состояния, поскольку оно не определяет однозначно ток i _н (рис.18.2, б);

2) поскольку при заряде конденсатора наблюдается скачок тока i _н и его производная di _н/ dt в момент скачка бесконечна, то использование переменной i _н в качестве переменной состояния также невозможно.

Таким образом, динамические процессы в цепях с контурами из конденсаторов и управляемых током нелинейных резисторов не могут быть описаны переменными состояния.

Согласно принципу дуальности, аналогично в цепях, включающих последовательное соединение катушек индуктивности и управляемых напряжением резисторов, также нельзя пользоваться уравнениями состояния. Простейшая такая цепь – это последовательное соединение катушки индуктивности и резистора с N-образной характеристикой (например, тоннельного диода) (рис.18.3, а, б).

Рис.18.3

Уравнение такой цепи имеет вид

т.е. содержит две переменные: i _L и напряжение на нелинейном резисторе u _н.

Анализ физических процессов в такой цепи позволяет сделать следующие выводы:

1) ток i _L нельзя принять за переменную состояния, поскольку он не определяет однозначно напряжение u _н (рис.18.3, б);

2) для такой цепи с индуктивностью характерны скачки напряжения и _L, а следовательно и напряжения u _н, в переходных процессах; поскольку производная dи _н/ dt в момент скачка бесконечна, то использование переменной и _н в качестве переменной состояния также невозможно.

Таким образом, динамические процессы в цепях с последовательным соединением катушек индуктивностей и управляемых напряжением нелинейных резисторов не могут быть описаны переменными состояния.

В связи с полученными выводами в дальнейшем будем рассматривать нелинейные цепи, в которых нет перечисленных особых контуров и ветвей, и для их описания цепи можно использовать полную совокупность напряжений u _с (или зарядов q _c) на конденсаторах и токов i _L (или потокосцеплений y_L) катушек индуктивности цепи, через которые все остальные переменные выражаются однозначно.

Дата добавления: 2015-11-03