Нелинейных динамических цепей

Уравнения состояния нелинейных динамических цепей могут быть сформированы с использованием регулярных процедур, например, на основе параметров линейного многополюсника.

Рассмотрим цепь, содержащую:

- независимые источники напряжения тока;

- линейные индуктивности и емкости;

- нелинейные резистивные элементы двух типов:

1) Z – ветви с однозначной зависимостью u _z(i _z);

2) y – ветви с однозначной зависимостью i _y(u _y).

Выделим из общей схемы независимые источники тока и напряжения, индуктивности, емкости и нелинейные резисторы (рис.18.4).

Рис.18.4

Оставшаяся часть представляет собой линейный резистивный многополюсник.

Наличие нелинейных элементов приводит к увеличению числа совместно решаемых уравнений и переменных (наряду с переменными состояния i _L, u _c в их число следует включить аргументы i _z, u _y нелинейных функций u _z(i _z), i _y(u _y), описывающих нелинейные элементы).

С использованием уравнений линейного многополюсника запишем:

i _c = h _cc u _c + h _cL i _L + h _cZ u _Z(i _Z) + h _cy i _y(u _y) + h _cU U + h _cj J,

u _L = h _Lc u _c + h _LL i _L + h _LZ u _Z(i _Z) + h _Ly i _y(u _y) + h _LU U + h _Lj J,

i _Z = h _Zc u _c + h _ZL i _L + h _ZZ u _Z(i _Z) + h _Zy i _y(u _y) + h _ZU U + h _Zj J,

u _y = h _yc u _c + h _yL i _L + h _yZ u _Z(i _Z) + h _yy i _y(u _y) + h _yU U + h _yj J, (18.4)

где h _yj – параметры линейного многополюсника.

Выразив с помощью компонентных уравнений емкости и индуктивности производные в левой части первых двух уравнений, получим уравнения состояния:

(18.5)

где

Алгебраические уравнения, выражающие аргументы нелинейных функций (третье и четвертое уравнения системы (18.4)), дополняют уравнения состояния до полной системы уравнений.

Иллюстрация метода составления уравнения состояния нелинейный цепей.

Пример 2. Пользуясь приведенным методом, составить уравнения состояния для цепи с источником напряжения U (t) = 1 (t) и полупроводниковым диодом VD (рис.18.5).

Рис.18.5

Решение

1. Представим ВАХ диода моделью Эберса-Молла:

(18.6)

где j_т, I₀ – паспортные параметры диода (температурный потенциал и ток насыщения перехода).

2. В соответствии с принципом компенсации заменив напряжение на емкости источником напряжения, ток в индуктивности – источником тока и напряжение на диоде – источником напряжения, получим эквивалентную резистивную схему замещения (рис.17.6)

Рис.18.6

3. Составим уравнение баланса токов для уравнения 1 (по закону Кирхгофа для токов) и уравнения баланса напряжений для левого и правого независимых контуров (по закону Кирхгофа для напряжений:

(18.7)

4. Исключаем избыточную переменную – ток i. Для этого выражаем его из второго уравнения и подставляем в первое уравнение системы (18.7). Полученное уравнение разрешаем относительно тока i _c и напряжения u _L:

(18.8)

5. Подставляем компонентные уравнения а также уравнение ВАХ диода (18.6) в уравнения системы (18.8), разрешаем их относительно первых производных и получаем систему нелинейных дифференциальных уравнений состояния:

Нелинейное алгебраическое уравнение для аргумента нелинейной функции (тока i) получим с помощью эквивалентной схемы замещения (рис.18.6):

Уравнения (17.5) представляют собой систему двух нелинейных дифференциальных уравнений. При большем числе накопителей (емкостей и индуктивностей) уравнения следует записывать в матричной форме.

Дата добавления: 2015-11-03