состояния нелинейных цепей

По существу задача расчета переходных процессов в нелинейной цепи, как и в линейной цепи, сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения или системы уравнений с заданными начальными условиями (задача Коши).

Если для линейных цепей решение многих задач может быть получено аналитически, то нелинейные задачи часто не имеют аналитического решения. Поэтому здесь, как правило, нужны численные методы решения дифференциальных уравнений.

Для использования стандартных методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируемая система должна быть записана в нормальной форме:

Именно к такому представлению приводит метод переменных состояний. Поэтому его применение целесообразно при формировании уравнений для численного интегрирования.

Суть всех численных методов заключается в определении значений искомых токов и напряжений в отдельные моменты времени, разделенные некоторым интервалом.

Рассмотрим для простоты нелинейную цепь, которая описывается дифференциальным уравнением, составленным относительно производной координаты состояния (искомой величины) – тока

то для момента времени t _кн, когда значение тока равно i _кн, имеем

где h = t _кн – t _к – шаг интегрирования.

Приближенные дискретные значения i _к искомой переменной при t _к = kh определяются последовательно на каждом шаге, начиная от момента t = 0, для которого i = i ₀ = i (0).

В зависимости от способа интегрирования второго члена уравнения (18.6) различают и методы решения дифференциальных уравнений. Наиболее простые из них следующие:

1. Явный метод Эйлера (метод последовательных интервалов) – это метод, в котором подынтегральная функция f принимается равной ее значению f _k = f (i _r, t _k, u ₀) в начале промежутка интегрирования (рис.18.7):

Рисунок 18.7

или

i _кн = i _к + hf (i _r, t _к, u ₀) = i _к + hi ’_кн (18.9)

Согласно этому методу, весь интервал времени, в течение которого рассматривается переходный процесс, разбивается на достаточно малые интервалы времени D t = t _кн - t _к = h. Соответственно, дифференциалы всех величин в уравнениях замеряются конечными приращениями этих величин за промежуток времени D t = h. Получив в конце некоторого интервала времени значение одной из двух величин, связанных между собой нелинейной зависимостью, находят вторую из этих величин, пользуясь заданной в табличной форме или графически нелинейной характеристикой. Эти величины принимаются как начальные в следующем интервале времени. Подобные многократно повторяющиеся операции легко программируются для их вычисления на ЭВМ.

2. Неявный метод Эйлера – это метод, в котором подынтегральная функция f принимается равной ее значению f _кн = f (i _кн, t _кн, u ₀) в конце промежутка интегрирования; формула для расчета точек искомой функции тока имеет вид:

i _кн = i _к + hf (i _r+1, t _к+1, u ₀) = i _к + hi ’_к+1 (18.10)

3. Метод трапеций – это метод, в котором подынтегральная функция f принимается равной полусумме ее значений в начале и конце промежутка интегрирования (рис.18.8)

формула для расчета точек искомой функции тока имеет вид:

(18.11)

Рисунок 18.8

В явном методе Эйлера используются f _к = (i _к, t _к, u ₀), определяемые уже вычисленными на предыдущем шаге интегрирования значениями i _к. Неявный метод Эйлера и метод трапеций используют значения f _к+1, неизвестные в начале вычислений на данном шаге. Поэтому их реализация более сложна, так как она требует на каждом шаге интегрирования решения системы уравнений относительно неизвестных значений i _к+1 в конце данного шага.

Выбор шага интегрирования h связан с обеспечением точности и устойчивости численного решения. Явный метод Эйлера наиболее прост, но дает значительную погрешность, пропорциональную h ², так как производная f = = (i _к, t _к, u ₀) в начале k -го интервала интегрирования принимается неизменной для всего интервала (рис.18.8).

Из рисунков 18.7 и 18.8 видно, что метод трапеций имеет меньшую погрешность, чем методы Эйлера. Погрешность метода трапеций пропорциональна h ³.

Полная погрешность зависит не только от выбранного метода расчета, т.е. от методической погрешности (алгоритмической), но и от погрешности округления из-за ограниченного количества разрядов цифровых значений величин, что относится к любым численным расчетам электрических цепей.

С ростом числа шагов погрешность интегрирования может увеличиваться, т.е. численное решение может давать значения все более отличающиеся от истинных. В этом случае получается численно неустойчивый алгоритм, который нельзя использовать для расчета переходного процесса.

Устойчивость явного метода Эйлера зависит от шага h. Для цепей с одним накопителем (емкостным или индуктивным элементом) алгоритм получается устойчивым при

h < 2t, (18.12)

где t - постоянная времени цепи.

Для цепи с несколькими накопителями при действительных корнях характеристического уравнения необходимо выбрать

(18.13)

где a_min – минимальный коэффициент затухания,

а при наличии и комплексных корней p _m = -a_m + j w_m шаг интегрирования h выбирается из условия

(18.14)

Неявный метод Эйлера и метод трапеций устойчивы при любом шаге, поэтому выбор шага диктуется только необходимой точностью расчета.

В компьютерных программах численного интегрирования широкое распространение получили метод Рунге-Кутта четвертого порядка, сочетающий относительную простоту вычислений с высокой точностью полученного решения, так как учитываются четыре значения производной:

(18.15)

где (18.16)

Иллюстрация явного метода Эйлера.

Пример 2. Схема цепи и основная кривая намагничивания нелинейной индуктивности приведены на рисунке 18.9.

Рисунок 18.9

Необходимо при U ₀ = const численно рассчитать переходный процесс, пренебрегая эффектом гистерезиса и считая начальные условия нулевыми.

Р е ш е н и е.

Записываем уравнение состояния цепи на основании второго закона Кирхгофа

Отсюда формулы численного расчета при использовании явного метода Эйлера имеют вид

В память ЭВМ должна быть введена нелинейная характеристика i (y), причем она должна быть определена для каждой точки диапазона токов от i = 0 до I _уст = U ₀/ R.

Следует отметить, что могут быть составлены различные варианты уравнений состояния. Например, если в примере 2 в качестве переменной состояния выбрать ток, то, учитывая, что

получим уравнение состояния вида

т.е. в памяти ЭВМ должна быть зависимость дифференциальной индуктивности нелинейной катушки индуктивности от тока.

Текст лекции составил

доцент кафедры «Радиоэлектроника» Н.В. Руденко

Дата добавления: 2015-11-03