Под уравнениями состояния цепи понимают любую систему уравнений, описывающую процессы (токи и напряжения) в цепи.

Каноническими уравнениями состояния в математике называют систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных (в форме Коши).

Полная система дифференциальных уравнений, описывающих токи и напряжения электрической цепи, формируется на основе топологических (на основе законов Кирхгофа) и компонентных (соотношений между токами и напряжениями элементов) уравнений. Затем система уравнений цепи приводится к уравнениям в форме Коши, т.е. к системе канонических дифференциальных уравнений первого порядка. Выбор различных наборов переменных приводит к неоднозначности, т.е. к возможности записи нескольких вариантов уравнений состояния.

В качестве основных переменных состояний, характеризующих электрическую цепь, целесообразно применять токи i _L индуктивных элементов и напряжения и _с емкостных элементов. Указанные величины в соответствии с законами коммутации изменяются непрерывно, и для них начальные условия записываются непосредственно на основе анализа предшествующего режима.

Система уравнений состояния линейной электрической цепи второго порядка с одним емкостным и одним индуктивным элементом при выборе в качестве переменных i _L и и _с имеет следующий вид:

(18.1)

где а _СС, а _CL, а _LC, в _CV, в _LV – постоянные коэффициенты уравнений, зависящие от структуры схемы и элементов;

V ₁, V ₂ – известные функции воздействий (источников).

Решение системы дифференциальных уравнений (18.1) позволяет получить ток индуктивности i _L(t) и напряжение u _c(t) на конденсаторе.

Искомые переменные, т.е. подлежащие определению токи (напряжения) резисторов и источников, можно выразить через полученные переменные состояния в виде уравнений резистивной цепи, в которой производная тока i _L заменена напряжением u _j источника тока, а производная напряжения u _c заменена током i _U источника напряжения. Указанные уравнения представим в форме системы линейных алгебраических уравнений:

(18.2)

где a _UC, a _UL, a _JC, a _JL, в _UV, в _JV – постоянные коэффициенты уравнений;

V ₃, V ₄ – известные функции воздействий (источников).

Во многих типовых программах анализа электрических цепей в качестве выходных переменных выбирают токи i _U источников напряжений и напряжения u _j источника тока, что не ограничивает общности рассмотрения, так как всегда можно положить U = 0 и J = 0.

В общем случае для разветвленной цепи порядка n уравнения состояния удобно представить в матричной форме:

(18.3)

где - вектор переменных состояния;

- вектор выходных переменных;

-вектор входных воздействий (источников);

А ₁, В ₁, А ₂, В ₂ – матрицы коэффициентов.

Алгоритм расчета методом переменного состояния содержит следующие операции:

1) расчет цепи до коммутации с целью определения начальных условий u _L(0), u _с(0);

2) составление уравнений состояния электрической цепи после коммутации и соотношений для выходных величин;

3) решение канонических дифференциальных уравнений и определение переменных состояния;

4) расчет искомых переменных.

Составление уравнений состояния базируется на записи и преобразовании полной системы уравнений цепи. Часть преобразований целесообразно проводить непосредственно на наиболее трудоемкой стадии составления уравнений.

Способы составления уравнений состояния зависят от сложности схемы. Для не слишком сложных схем применяют:

- запись уравнений по законам Кирхгофа;

- метод наложения с использованием коэффициентов многополюсника.

Уравнения состояния на основе законов Кирхгофа можно получить в следующем порядке:

1) записать уравнения по закону Кирхгофа для токов, из них выразить токи емкостей и искомые токи источников напряжения;

2) записать уравнения по закону Кирхгофа для напряжений, из них выразить напряжения индуктивностей и искомые напряжения источников тока (при необходимости определения других токов и напряжений выразить их через u _с, i _L);

3) заменить токи емкостей и напряжения индуктивностей в соответствии с компонентными соотношениями:

получить уравнения состояния, разделив полученные соотношения на C и L.

Иллюстрация способа составления уравнения состояния.

Пример. Составить уравнение состояния для цепи второго порядка (см. рис.18.1).

Рис.18.1

Решение.

Уравнение состояния формируют для цепи после коммутации.

Запишем уравнения по законам Кирхгофа:

,

.

Выразим i _c из первого уравнения и u _L из второго. С учетом компонентных соотношений запишем:

.

Подставив в левые части компонентные соотношения и разделив их на L и C, получим уравнения

В рассматриваемом примере выходные переменные совпадают с переменными состояния: i _U = i _L, u _J = u _c.

Дата добавления: 2015-11-03