Свойства Z-преобразования

Свойства Z-преобразования и преобразования Фурье и Лапласа сходны между собой [1, 1 146].

Линейность

Это свойство можно сформулировать так:

Взвешенной сумме дискретных последовательностей соответствует взвешенная сумма Z-преобразований этих последовательностей.

Вместо того чтобы для отсчетов сигнала записывать прямое Z-преобразование (15) и по известному Z-преобразованию последовательности (20) восстанавливать отсчеты исходной последовательности будем ставить знак соответствия между отсчетами последовательности и ее Z- преобразование:

(38)

Задержка

Задержка последовательности на k₀ тактов соответствует умножение Z-преобразование исходной последовательности на , то есть

(39)

Свертка

Дискретной свертке двух последовательностей соответствует перемножение их Z-преобразований:

или

(40)

Для инвариантной к сдвигу линейной дискретной системы выходная последовательность определяется дискретной сверткой входной последовательности и дискретной импульсной характеристики: (11):

Здесь нижний предел суммирования для общности взят равным - ∞.

Пусть

На основании свойства дискретной свертки можно записать:

(41)

где

Здесь входная последовательность представлена N отсчетами.

Для дискретной линейной системы, инвариантной к сдвигу, входная x_(n) и выходная y_(n) последовательности связаны разностным уравнением:

(42)

Иначе это можно записать в виде равенства:

(43)

Если от (42) найти Z-преобразование, то получим равенство:

(44)

с учетом (41)

(45)

Таким образом Z-преобразование дискретной импульсной характеристики ЛДС представляет отношение полиномов относительной переменной Z^-1, коэффициенты которых совпадают с коэффициентами разностного уравнения.

(46)

Если в разностном уравнении (43) положить коэффициент b₀ равным 1, то разностному уравнению:

(47)

Будет соответствовать Z-преобразование функции передачи линейной дискретной системы:

(48)

Дата добавления: 2015-11-03