Д.5. Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (infinite impulse response — HR, БИХ) обычно создаются из аналоговых прототипов с использованием отображения из i-плоскости в г-плоскость. Как понятно из названия, импульсная реакция таких фильтров (предполагая арифметику бесконечной точности) может иметь бесконечную длительность. Данные фильтры имеют весовые коэффициенты и прямой, и обратной связи, подобно тому, как показано на рис. Д.4. Вследствие рекурсивной природы по­точного графа, данные фильтры могут иметь весьма длительные импульсные отклики (до нескольких весовых коэффициентов). Следовательно, фильтры с БИХ могут соз­даваться с меньшим числом весовых коэффициентов, чем фильтры с КИХ при ана­логичных функциональных амплитудных характеристиках. В общем случае в цифро­вых фильтрах с БИХ фаза изменяется нелинейно.

Д.5.1. Оператор левосторонней разности

Уравнение (Д.44) позволяет связать переменную преобразования Лапласа s (непрерывное время) и переменную z-npcобразования г (дискретное время). Известно, что при преобра­зовании Лапласа дифференцирование по времени (d/dt) переходит в умножение на пере­менную S.

y(t) = —— => K(s) = sX(s) at

Возьмем, например, следующую характеристику фильтра Батгерворта:

W(s) = ——)= ■ (Д.46)

s²+j2s+l

Данную аналоговую схему (фильтр нижних частот) можно аппроксимировать дис­кретно, подставив приближение

i = ^r(l-z ')

в уравнение (Д.46). Это дает следующее уравнение в г-области:

Я(г) = Я(5) I

fO-z) |.л у— J.

Т

т²

(Д-48)

(1-2 г^-1 +z~²) + л/2Г(1- г^-1) + Т²

у 2

г^-2 -(л/27' + 2)г^-1 +(1 + ЛТ + Т²) '

При низких частотах, когда приближение (Д.47) является “хорошим”, данное преоб­разование может давать “разумный” цифровой эквивалент аналогового фильтра ниж­них частот. (Уравнение (Д.47) иногда называется “оператором левосторонней разно­сти”.) К сожалению, данное отображение является очень плохим при высоких часто­тах, а следовательно, оно не может использоваться при создании фильтров верхних частот. Таким образом, на практике оно применяется редко.

Д.5.2. Использование билинейного преобразования для создания фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

Билинейное преобразование получается при замене s следующим приближением:

2 (1-Z"¹)

^т (1 + z^-1)

Данная подстановка приводит к отображению, сохраняющему устойчивость аналогового прототипа и дающему фильтры, значительно лучшие по своим характеристикам, чем в предыдущем случае (уравнение (Д.47)) [2]. В SystemView [1] билинейное преобразова­ние используется для создания цифровых фильтров из стандартных аналоговых прототи­пов, таких как фильтры Батгерворта, эллиптические фильтры и фильтры Чебышева. Отме­тим, что билинейное преобразование всегда дает фильтр, имеющий нули и полюсы; следо­вательно, данные фильтры имеют бесконечную импульсную характеристику (БИХ).

Д.5.3. Интегратор с бесконечной импульсной характеристикой

Цифровой интегратор — это, по сути, БИХ-фильтр с одним весовым коэффициентом.

к

у(к) = х(к) + у(к- 1) = £х(0 (Д.50)

(= 0

В z-области передаточная функция дискретного интегратора получается из соотношения

-1

Y(z) = X(z) + z K(z), У(г) 1

X(z) 1 — z

Реализация простого цифрового интефатора и графическое представление связи с ин­тегрированием по непрерывному времени показаны на рис. Д. 13.

X(z)		Viz)
	1 -z-'

Дата добавления: 2015-10-28