|
Читайте также: |
Время
а)
I
| о X т, т2 |
х' Время
б)
Рис. А.9. Аппроксимация произвольного входного сигнала: а) входной сигнал; б) аппроксимация входного сигнала
На рис. А.10 показана выходная реакция i(t) = Axh(t - тх) на импульс с весовым коэффициентом v(Xj). Поскольку входной импульс в момент т, не является единичным, он умножается на весовой коэффициент — интенсивность (или площадь) Ах = v(t,) Ат. В некоторый момент времени tu где /, > ть выходная реакция на импульс у(т,), как показано на рис. А.10, выражается следующим образом.
i(tx)=Axh(tx- т,) при/^т.
S
о
0)
а
s
Время
Рис. А.10. Реакция на импульс в момент
При наличии нескольких входных импульсов общий выходной отклик линейной системы — это просто сумма отдельных откликов. На рис. А. 11 показан отклик сети на два единичных импульса. При N импульсах на входе ток на выходе, измеренный в момент времени можно записать следующим образом:
Приложение А. Обзор анализа Фурье
| Время Рис. А. 11. Реакция на два импульса i(t 1) = A\h(ti — Ti) + A2h(ti — т2) +... + ANh(tl — xN), |
где импульсы подаются в моменты ть т2,xN и где t! > xN.
Все импульсы, поданные на вход после момента /ь не учитываются, поскольку они не дают вклада в Это согласуется с требованием причинности физически реализуемых систем — отклик системы должен быть нулевым до применения возмущения. Итак, можно записать ток на выходе в любой момент времени t следующим образом:
/(/) = AMt ~ т,) + A2h(t - т2) +... + ANh(t - Тл,).
или, поскольку весовой коэффициент импульса в момент времени т; равен v(x;),
N
т = 2/(т;.)ДтЛ(/-т;). (А.43)
j = 1
Когда Лт стремится к нулю, сумма входных импульсов приближается к действительному приложенному напряжению v(t), Дт можно заменить dx, при этом сумма заменяется интегралом свертки'.
i(t) = Jv(T)/i(f - т) dx
—со
или
/(/)= Jv(/ -x)h(x)dx
В сокращенной записи
i(t) = v(f) * h(t) (А.45)
Итак, i(t), функция времени на выходе, — это сумма реакций на отдельные импульсные возмущения, произведенные в некоторый входной момент т, причем каждый импульс умножается на весовой коэффициент — интенсивность.
Рассмотрим квадратный импульс v(t), подаваемый на вход линейной сети, импульсная характеристика которой равна h(t) (рис. А. 12, а). Отклик на выходе описывается интегралом свертки, представленным в формуле (А.44).
hit)
| h(- К | -т) |
| -3 hit 1 | -т) |
| -3 hit2 - т) fl | fl v{x) i |
| а) |
| б) |
| в) |
| Ld_, |
| -i |
| 1 f2 J v(x)ft(f2 - t) dt Д) |
| /(f) = v(f) * h(t) |
Puc. A. 12. Графическая иллюстрация свертки
Независимой переменной в интеграле свертки является х. На рис. А. 12, б показаны функции v(x) и Л(-т). Отметим, что й(-т) получается отображением Л(т) относительно оси х = 0. Выражение h(t - т) представляет функцию h(-т), смещенную на t секунд вдоль положительного направления оси х. На рис. А. 12, в показана функция h(ti-t).
Значение интеграла свертки в момент времени t = tx получается из формулы (А.44), в которой положено / = /,. Это просто площадь под кривой произведения v(t) на h(t{ - т), показанного на рис. А.12, г. Подобным образом интеграл свертки, взятый в момент t = t2, равен заштрихованной площади на рис. А.12, д. На рис. А.12, е приведен график отклика на выходе схемы при квадратном импульсе на входе, показанном на рис. А.12, а. Каждое вычисление интеграла свертки для некоторого момента времени /, дает одну точку i(t,) графика на рис. А.12, е.
А.5.2. Свертка по времени
Если *,(/) Xt(f) и д:2(/) X2(f), то
xl(t)*x2(t)= ^xl{T)x2{t-x)dT
—оо
34*1(0**2(01= J \x^)x2(t-T)dTe-lKiftdt
Для линейных систем порядок интегрирования можно изменить.
ff{jr,(0 * *2(0} = Jjfi(t)* jx2(t - z)e~2mfidt (А.46)
В соответствии со свойством сдвига во времени второе интегральное выражение правой части можно заменить на Хг(/)е~1к‘*х.
5{х, (О * *2 (0} = *2 (/) ]№2*'dt = (А 4?)
= ^i«
Следовательно, операцию свертки во временной области можно заменить умножением в частотной области.
А.5.3. Свертка по частоте
Можно показать, что, вследствие симметрии пары преобразований Фурье (формулы (А.26) и (А.27)), умножение во временной области переходит в свертку в частотной области.
Xi(t)x2(t) <-> Xi(J) * X2(f) (A.48)
Данная замена умножения в одной области сверткой в другой весьма удобен, поскольку, как правило, одну из этих операций выполнить значительно проще, чем другую. Например, ранее говорилось, что Хевисайд использовал свертку для определения тока на выходе линейной системы при подаче на вход произвольного переменного напряжения. Подобные методы часто включают вычисление (иногда трудоемкое) свертки входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Поскольку, как видно из формулы (А.47), свертка во временной области заменяется умножением в частотной, для линейной системы спектр входного сигнала можно просто умножить на передаточную функцию системы. Выходной сигнал затем получается путем применения к произведению обратного преобразования Фурье.
i(t) = rl{V(f)HV)} (А.49)
Вычислить выражение (А.49) часто намного проще, чем (А45). В то же время, при определенных обстоятельствах, операция свертки настолько проста, что ее можно выполнить графически, просто внимательно изучив соответствующий график. Предположим, что некоторый произвольный сигнал необходимо умножить на косинусоиду фиксированной частоты, например несущую (если речь идет о модуляции). С помощью формулы (А.48) спектр произвольного сигнала можно свернуть со спектром косинусоиды, что, как показывается в следующем разделе, выполняется довольно просто.
А.5.4. Свертка функции с единичным импульсом
При использовании свойства, представленного в формуле (А.47), очевидно, что если
x(t) ^ X(f)
и
8(0 1,
то
x{t) * 6(0 <-> X(J). (А.50)
Также должно быть очевидно, что
x(t)*5(t) = x(t) (А.51)
и
Хф * &(f) = X(f). (А.52)
Следовательно, можно сделать вывод, что свертка функции с единичным импульсом дает исходную функцию. Простое развитие формулы (А 52) дает следующее:
X(j) * 8(f-fo) = X(f-f0). (А.53)
На рис. А13 показано, насколько просто производится свертка спектра произвольного сигнала со спектром косинусоиды. На рис. А13, а представлен спектр Хф произвольного узкополосного сигнала. На рис. А13, бпоказан спектр Уф = Щ-f0) + 8(f+f0) = 5{2 cos 2nfy}.
Выход Z(f) = X(j) * Y(f) на рис. A13, в получается при свертке спектра сигнала с импульсной функцией Y(j), согласно формуле (А 53), где импульсы действуют как стробирующие функции. Следовательно, в данном простом примере свертку можно выполнить графически, протягивая стробирующие импульсы через спектр сигнала. Умножение на импульсные функции на каждом шаге протягивания приводит к повторению спектра сигнала. Результат, показанный на рис. А13, в, — это версия исходного спектра Хф, смещенная к месторасположению импульсных функций, изображенных на рис. А13, б.
А.5.5. Применение свертки при демодуляции
В разделе А.5.4 рассматривался сигнал, умноженный на 2 cos 2nfy. Было показано, как в частотной области выглядит свертка спектра сигнала со спектром косинусоиды. В данном разделе рассматривается обратный процесс. Необходимо демодулировать сигнал, умноженный на 2 cos 2nfy (сигнал нужно восстановить в его изначальном диапазоне частот).
ШЛА
б) в)
Рис. А. 13. Свертка спектра сигнала со спектром косинусоиды
На рис. А. 14, а представлен спектр, Z(J), сигнала, смещенного вверх по частоте. Можно демодулировать данный смещенный сигнал и восстановить исходный сигнал, умножив данный сигнал на 2 cos 2nfy. Вместо этого мы можем проиллюстрировать процесс детектирования в частотной области, свернув Z(f) со спектром несущей, Y(j) = 8+ 8(f+/0), показанным на рис. А. 14, б.
| о а) |
L,
А
о
В)
Рис. А. 14. Применение демодуляции
Использование формул (А.52) и (А.53) позволяет записать следующее:
X(f-f0) * W-fl)=X<f-f,
Следовательно, результат демодуляции X(f) = Z(f) * Y(f) получаем в результате применения формулы (А.54). Получающийся спектр сигнала — это спектр в исходной полосе плюс компоненты, центрированные на частотах ±2f0, как показано на рис. А. 14, в. Как и в предыдущем разделе, свертку можно выполнить графически. На рис. А. 14, в отображены следующие результирующие составляющие:
[Z(f-fo) + Z(f+fo)] * m-fo) + 5(/Ч/о)] = = Z(f-f0) * 5(f-f0)+ Z(f-f0) * 5(/4/o) +
^ _ _
+ Z(f+f0) * 5(/--/0) + Z(f+/o) * 5(/4/o) = = 2Z(/) + Z(f- 2/0) + Z(f + 2/0).
Отметим, что результат — это спектр в исходной полосе сигнала плюс высокочастотные составляющие, связанные с высокочастотными компонентами. Данный результат типичен для процесса детектирования; высокочастотные составляющие отфильтровываются и отбрасываются, оставляя спектр демодулированного исходного сигнала.
А.6. Таблицы Фурье-образов и свойств преобразования Фурье
В табл. А.1 и А.2 приведены Фурье-образы наиболее часто встречающихся функций и некоторые свойства преобразования Фурье.
Таблица А.1. Фурье-образы
X(fl
Щ
11. t ехр (-at) u(t), а>0
12. rect| —
Примечание: rect (f!2W) = 1 для —W <f<W и 0 для [/) > W; sine x = (sin Kx)/Kx. Таблица A.2. Свойства преобразования Фурье
| Действие | x(t) | X(f) |
| 1. Изменение масштаба | x{at) | \a\ a |
| 2. Сдвиг во времени | x(t -10) | X(f)e27Cift° |
| 3. Сдвиг по частоте | x(t)e2Kifi° | X(f~fo) |
| 4. Дифференцирование по времени | dnx dt" | (2 niffXif) |
| 5. Дифференцирование по частоте | (-2nityx(t) | dnX df |
| 6. Интегрирование по времени | t Jx(T)dT | 2kVX(/) + 2X(°)8(/) |
| 7. Свертка по времени | Xi(0 * x2(t) | х,фх2(Л |
| 8. Свертка по частоте | Xi(t)x2(t) | X,(f) * X2(f) |
Литература
1. Papoulis A. Signal Analysis. McGraw-Hill Book Company, New York, 1977.
2. Panter P. F. Modulation, Noise, and Spectral Analysis. McGraw-Hill Book Company, New York, 1965.
3. Bracewell R. The Fourier Transfer and Its Applications. McGraw-Hill Book Company, New York, 1978.
4. Haykin S. Communications Systems. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1983.
5. Schwartz M. Information, Transmission, Modulation, and Noise. McGraw-Hill Book Company, New York, 1980.
rhwrM.A
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Основы теории принятия статистических решений
Основными элементами задачи статистического принятия решений являются (1) набор гипотез, описывающих возможные истинные состояния природы, (2) тест, дающий данные, из которых мы можем сделать логический вывод, (3) правило принятия решения, применяемое к данным и определяющее, какая гипотеза наилучшим образом описывает состояние природы, и (4) критерий оптимальности. Все они рассматриваются ниже. Критерий оптимальности для правила принятия решения выбирается так, чтобы минимизировать вероятность принятия ошибочного решения, хотя возможны и другие критерии [1].
Предмет теории принятия статистических решений и проверки гипотез основывается на математической дисциплине теория вероятностей и случайных переменных. Предполагается, что читатель знаком с этим; в противном случае рекомендуется работа [2].
Б. 1. Теорема Байеса
Математические основы проверки гипотез базируются на теореме Байеса, которая следует из определения отношения между условной вероятностью и совместной вероятностью случайных переменных А я В.
Р(А\В)Р(В) = Р(В\А)Р(А) = Р(А, В) (Б.1)
Теорема формулируется следующим образом:
(Б.2)
1 Р(В)
Теорема Байеса позволяет выводить условную вероятность Р(А\В) из условной вероятности Р(В\А).
Теорему Байеса можно записать в дискретной форме следующим образом:
i = l,...,М
| i = i |
В приложениях связи s, — это l-Vi класс сигнала из набора М классов, a zj — j-я выборка принятого сигнала. Уравнение (Б.З) можно рассматривать как описание эксперимента, в котором задействована принятая выборка и некоторые статистические знания о классах сигнала, к которым может принадлежать эта принятая выборка. До эксперимента веро
ятность появления i-ro класса сигнала P(si) называется априорной. В результате изучения
конкретной принятой выборки Zj из плотности условной вероятности P(z/|.v/) можно найти статистическую меру правдоподобия принадлежности Zj к классу s,. После эксперимента можно вычислить апостериорную вероятность P(sfcj), которую можно рассматривать как “уточнение” наших априорных знаний. Таким образом, к эксперименту мы приступаем, имея некоторые априорные знания, касающиеся вероятности состояния природы, а после изучения выборочного сигнала получаем апостериорную (“после свершения”) вероятность. Параметр P(zJ)— это вероятность принятой выборки z3 во всем пространстве классов сигналов. Эту величину, P(zj), можно рассматривать как масштабный множитель, поскольку его значение одинаково для всех классов сигнала.
Пример Б.1. Использование (дискретной формы) теоремы Байеса
Имеется два ящика деталей. Ящик 1 содержит 1000 деталей, 10% из которых неисправны, а ящик 2 — 2000 деталей, из которых неисправными являются 5%. Если в результате случайного выбора ящика и детали из него деталь оказывается исправной, то чему равна вероятность того, что данная деталь взята из ящика 1?
Решение
где ИД означает “исправная деталь”.
Р(ИД) = />(ИД|ящик 1)Р(ящик 1) + />(ИД|ящик 2)Р(ящик 2) = = (0,90)(0,5) + (0,95)(0,5) =
= 0,450 + 0,475 = 0,925
Р(ящик II ИД) = -------- = 0,486
1 0,925
До эксперимента априорные вероятности выбора ящика 1 или 2 равны. После получения исправной детали вычисления, проведенные согласно теореме Байеса, могут рассматриваться как способ “точной подстройки” нашего представления о том, что Р(ящик 1) = 0,5, в результате которой возникает апостериорная вероятность 0,486. Теорема Байеса — это просто формализация здравого смысла. Если была получена исправная деталь, то не кажется ли вам
(интуитивно), что она с большей вероятностью могла быть взята из ящика с более высокой концентрацией исправных деталей и с меньшей— из ящика с меньшей концентрацией? Теорема Байеса уточняет априорную статистику выбора ящиков, порождая апостериорную статистику.
Пример Б.2. Применение теории принятия решений в теории игр
В ящике находится три монеты: обычная, с двумя орлами и с двумя решками. Вам предлагается случайным образом вытянуть одну монету, взглянуть на одну ее сторону и угадать, что находится на другой стороне. Какой стратегии лучше всего придерживаться?
Решение
Данную задачу можно рассматриваться как задачу детектирования сигнала. Сигнал передается, но вследствие шума канала принятый сигнал не совсем отчетлив. Невозможность взглянуть на обратную сторону монеты равносильна приему сигнала, возмущенного шумом. Пусть Hj представляет гипотезу («' = П, О, Р), где индексы П, О и Р обозначают правильную монету, монету с двумя орлами и монету с двумя решками.
Hn = 0, Р (правильная монета) Н0-0,0 (монета с двумя орлами) НР = Р,Р (монета с двумя решками)
Пусть Zj представляет принятую выборку (/ = О, Р), где zo — орел, a Zp — решка. Пусть априорные вероятности гипотез равновероятны, так что Р(НП) = Р(Н0) = Р(НР) = 1/3. Используем теорему Байеса.
| P(Zj\Ht)P(H,) |
Нам необходимо вычислить вероятности всех гипотез для всех классов сигнала. Следовательно, нам нужно изучить результаты шести вычислений, после чего мы сможем установить оптимальную стратегию принятия решения. В каждом случае значение P(z,\Hi) можно вычислить из условных вероятностей, изображенных на рис. Б.1. Пусть мы выбрали монету и увидели орел (Zo), тогда вычисление трех апостериорных вероятностей дает следующие результаты:
| 3’ |
| 3 ’ |
| Р(НР |zo) = 0. |
Если принятой выборкой является решка (zP), вычисления дают следующее:
P(Ho\zP) = 0, P(Hm\zm) = l.
л nco
| 1 1 Р о | ||
| а) | ||
| РЪ 1н0) | ||
| I | ||
| Р о | ||
| б) | ||
| Р(щ I Нр) | ||
| I I |
| в) Рис. Б. 1. Условная вероятность P(zjH,): а) для правильной монеты; б) для монеты с двумя орлами; в) для монеты с двумя решками |
Таким образом, оптимальной стратегией принятия решения является следующая: если принят орел (zo), выбрать гипотезу Н0 (соответствующую монете с двумя орлами); если принята решка (zp), выбрать гипотезу НР (соответствующую монете с двумя решками).
Б.1.2. Теорема Байеса в смешанной форме
Для большинства приложений связи, представляющих практический интерес, возможные значения принятой выборки принадлежат непрерывному диапазону (причина— наличие в канале связи адаптивного гауссового шума). Следовательно, наиболее полезная форма теоремы Байеса содержит плотность вероятности с непрерывными, а не дискретными значениями. Изменим соответствующим образом формулу (Б.З):
P(s,\z)=P^*,)Pis,) 1 = 1,...,М,
P(z)
м
P(.z) = ^p(z\s,)P(,s,).
1 = 1
Здесь p(z|s,)— плотность условной вероятности принятой выборки z (принимающей значения из непрерывного диапазона) при условии принадлежности к классу сигнала S,.
Даны два класса сигнала s 1 и s2, которые описываются треугольными функциями плотности условной вероятности p(z|$i) и P(z\s2), показанными на рис. Б.2. Принят некоторый сигнал; он может иметь любое значение по оси z. Если функции плотности вероятности не перекрываются, сигнал можно классифицировать однозначно. В данном же примере, приведенном на рис. Б.2, нам требуется правило, которое позволит классифицировать принятые сигналы, поскольку некоторые из них попадут в область перекрывающихся функций плотности вероятности. Рассмотрим принятый сигнал za. Пусть два класса сигналов si и s2 являются равновероятными. Нужно вычислить две возможные апостериорные вероятности и предложить правило принятия решений, которое следует использовать при определении принадлежности сигнала za к определенному классу. То же самое нужно сделать для сигнала Zb-
| Рис. Б.2. Наглядное представление теоремы Байеса |
Решение
Из рис. Б.2 видим, что p(zJ[S\) = 0,5 и p(zjs2) = 0,3. Следовательно,
/>(, I z) =_______ rtz.W*)
P(Za I + />(£„ | S2)P(S2)
(0Д(0Д) 5
(ОД(05)-КаЗ)(ОД 8 (0,3)(0Д
Р(Фа) =
(0Д(0Д-К0,3)(0Д 8
Одно из возможных правил — определять принятый сигнал к классу с максимальной апостериорной вероятностью (классу si). Эквивалентное правило, для равных априорных вероятностей,— это исследовать значение функции плотности вероятности, обусловленной каждым классом сигналов (называемой правдоподобием класса сигналов), и выбрать класс с максимальным значением. Рассмотрим рис. Б.2 и отметим, что правило максимального правдоподобия соответствует нашей интуиции. Правдоподобие принадлежности сигнала Za к каждому классу сигналов соответствует обведенной кружком точке на каждой функции плотности вероятности. Правило максимального правдоподобия заключается в выборе класса сигналов, дающего максимальную условную вероятность из всех имеющихся. Повторим вычисления для принятого сигнала г*.
*.,!*)= №7)<ад -7
(0,7)(0,5) + (0Д)(0Т5) 8
(0Д)(0Д 1 (0,7)(0,5)-КО,1)(0,5) 8
Как и ранее, правило максимального правдоподобия указывает нам выбрать класс сигналов s 1. Заметим, что при принятии выборки гь мы более уверены в точности нашего выбора, по сравнению с принятием сигнала za. Это объясняется тем, что отношение p(Zb\si) к p(Zb\si) существенно больше отношения p(za\s,) к p(z„\sj).
Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 63 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Основы теории принятая статистических решений 1051 88 страница | | | Б.2. Теория принятия решений |