Основы теории принятая статистических решений 1051 88 страница

мент времени, в который измеренное значение г было равно [0,87, 1,21, 0,66, 1,90], а соответствующее усиление G — [0,5, 0,8, 1,0, 0,8]. Средняя мощность шума в каждом ка­нале N равна 0,25.

а) Вычислите SNR сигнала, поступающего на детектор.

б) Можно показать [1], что SNR максимально, когда все равны r_;²//V. Используя этот факт, определите максимально достижимое SNR.

  Рис. 315.2. Приемник с разнесением на четыре канала

15.25. В системе для улучшения значения SNR приемника используется разнесение каналов. Предполагается, что каждый канал получает независимо замирающий релеевский сигнал. Приемник должен удовлетворять следующему требованию: вероятность получения всеми каналами сигнала с SNR, меньшим некоторого порогового значения, равна 10^-4, где по­роговое значение принято равным 5 дБ, а среднее SNR равно 15 дБ.

а) Вычислите количество каналов разнесенного приема М, необходимых для того, что­бы приемник удовлетворял этому условию.

б) Основываясь на результатах п. а, вычислите вероятность получения во всех каналах SNR > 5 дБ.

15.26. В приемнике с двумя каналами используется схема разнесения. Из каждого канала было получено следующее.

Канал 1		'1,85	1,91	-1,311	-1,58	1,21	1,93	1,11	-1,67	2,13	-2,25'
Канал 2		1,67	1,69	-2,13	-1,26	1,74	1,76	1,29	-1,93	2,31	-1,08

В первой строке показаны значения напряжений в первом канале, а во второй строке — напряжения во втором канале. Каждый столбец соответствует определенному моменту времени. Считается, что средняя мощность шума в каждом канале равна 0,25 Вт, также предполагается, что упомянутые выше значения преобразованы в синфазные с после­дующим объединением методами максимального отношения и равного усиления. Мгно­венное усиление напряжения, предоставляемое делителем для каналов 1 и 2, равно G\ = 1,2 и G2 = 1,4. Кроме того, разнесение с обратной связью предполагает, что порого­вое значение SNR нужно установить равным 5 дБ.

Вычислите, выход какого канала будет подан на детектор, если используются следующие методы разнесения.

а) Выборочный.

б) С обратной связью.

Вычислите величину SNR, которую имеет сигнал, поданный на детектор, если использу­ются следующие методы разнесения.

а) Максимального отношения.

б) Равного усиления.

15.27. Отклик канала на идеальный положительный или отрицательный импульс расширяется в три раза, как это показано на рис. 315.3. Таким образом, для последовательности пере­данных импульсов полученный сигнал состоит из суперпозиции L (= 3) вкладов (сегменты от трех импульсов) — текущий импульс плюс память о двух предыдущих им­пульсах. Используйте диаграмму решетчатого кодирования для описания вызванной кана­лом ISI и пометьте каждую ветвь решетки значениями напряжения, являющимися ре­зультатом перехода. Изначально система была очищена до состояния 00 путем передачи двух отрицательно поляризованных импульсов. Затем рассмотрите передачу последова­тельности 110 11с использованием идеальных импульсов, изображенных на рис. 315.3. Определите амплитуду полученного искаженного сигнала и покажите его путь по решет­чатой диаграмме. Подсказка: эта двоичная система с конечным числом состояний имеет 2'-¹ состояний. Воспользуйтесь миллиметровкой для вычисления суперпозиции, необхо­димой для представления искаженных сигналов, характеризующих канал. Построение решетчатой диаграммы описано в разделе 7.2.3. Единственное замечание: здесь вместо ко­довых битов используются уровни напряжения.

Т Т Т

Рис. 315.3

15.28. Используйте характеристики канала и настроечную последовательность, описанную в за­даче 15.27, и добавьте шумовое напряжение, равное {+1 -1 +1 -1 +1}, для получения ис­каженного сигнала. Применяйте диаграмму решетчатого декодирования для иллюстрации того, как алгоритм декодирования Витерби используется в этом процессе выравнивания, и приведите вычисления, дающие первый бит сообщения. Подсказка: процесс подобен декодированию битов, кодированных сверточным кодом, где вместо кодовых битов ис­пользуются уровни напряжения.

15.29. В мобильных системах связи для борьбы с эффектами замирания используется эквалай­зер Витерби. Скорость передачи равна 160 х 10³ символов/с, для модуляции используется схема BPSK. Дисперсия сигнала, являющаяся результатом вызванной каналом ISI, равна 25 мкс.

а) Вычислите приблизительный объем памяти Lo в битовых интервалах, который необ­ходимо включить в эквалайзер Витерби.

б) Каким должен быть объем памяти, чтобы удвоить скорость передачи символов?

Вопросы

15.1. Какие два механизма характеризуют мелкомасштабное замирание? Объясните, как вре­менное и частотное описание этих механизмов связано через Фурье-преобразование и от­ношение дуальности (см. разделы 15.2—15.4).

15.2. Какая разница между райсовским и релеевским замиранием (см. раздел 15.2.2)?

Гпово 1 ^ i^ouanu л 'юммпяииами

15.3. Определите следующие параметры: среднеквадратический разброс задержек, ширина по­лосы когерентности, время когерентности, доплеровское расширение. Как они связаны между собой (см. разделы 15.3 и 15.4)?

15.4. Какие две категории ухудшения характеристик характеризуют рассеяние сигнала по вре­мени, а какие две — нестационарную природу канала (см. разделы 15.3 и 15.4.)?

15.5. Почему два основных механизма замирания, характеризующих мелкомасштабное замира­ние, рассматриваются независимо друг от друга (см. раздел 15.4.1.1)?

15.6. Почему искажение сигнала, вызванное замиранием, является более серьезным эффектом искажения, чем уменьшение SNR (см. раздел 15.5)?

15.7. Какие методы применяются для борьбы с частотно-селективным замиранием? Какие ме­тоды используются для борьбы с быстрым замиранием (см. раздел 15.5)?

15.8. Какие существуют способы разнесения сигнала (см. раздел 15.5.3)?

15.9. Если между передатчиком и приемником отсутствует движение, какой рабочий интервал устройства чередования нужен для защиты от быстрого замирания (см. раздел 15.5.6)?

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Обзор анализа Фурье

А.1. Сигналы, спектры и линейные системы

Электрические сигналы связи — это меняющиеся со временем сигналы напряжения или тока, обычно описываемые во временной области. С другой стороны, подобные сигналы также удобно описывать в частотной области, где описание сигнала называ­ется его спектром. Спектральные понятия достаточно важны при анализе и проекти­ровании систем связи; они могут описывать сигнал через его среднюю мощность или энергетическое содержание на различных частотах и показывают, какую часть (полосы) электромагнитного спектра занимает сигнал. Федеральная комиссия по средствам связи США (Federal Communications Commission— FCC) требует, чтобы те­ле- и радиостанции работали на выделенных им частотах при крайне малых проме­жутках между полосами, занятыми различными станциями. Например, амплитудно- модулированные радиоканалы разделены полосой 10 кГц, а телевизионные каналы — полосой 6 МГц. Так что наш интерес к спектрам и анализу Фурье объясняется реаль­ными требованиями помещения сигнала в точно заданные границы.

Частотными спектральными характеристиками можно описать как собственно сигналы, так и электрические схемы. Если говорится, что конкретный спектр описы­вает сигнал, подразумевается, что один из способов описания сигнала — это задать его амплитуду и фазу как функции частоты. В то же время, когда мы говорим о спек­тральных параметрах схемы, имеем в виду передаточную функцию (или частотную ха­рактеристику), связывающую выход схемы с ее входом; другими словами, схема ха­рактеризуется тем, какая часть спектра входного сигнала пройдет на выход.

А.2. Применение методов Фурье к анализу линейных систем

Методы Фурье используются для анализа линейных схем или систем: (1) для предсказания реакции (отклика) системы; (2) для определения динамики системы (передаточной функ­ции) и (3) для оценки или интерпретации результатов тестов. Предсказание реакции сис­

темы (1) схематически проиллюстрировано на рис. А.1. Пусть на вход системы подается произвольный периодический сигнал с периодом Го секунд. Методы Фурье-анализа, как показано на рисунке, позволяют описать подобный вход как сумму синусоидальных сиг­налов. Наименьшая (или собственная) частота этих сигналов — 1/Г Гц; остальные частоты, кратные ей (2/Го, 3/Го, • • •)> называются гармониками. Важной особенностью линейной сис­темы является принцип суперпозиции — реакция на сумму сигналов равна сумме откликов на каждый сигнал. Фактически это свойство используется как определение линейности. Математически система линейна, если для всех a, b, *i(f) и x₂(t)

yi(t) — реакция системы на *](*);

yi(t) — реакция системы на x₂(t)',

и

ayi(t) + by₂(t) — реакция системы на ax_{(t) + bx₂(t).

<=т₀ъ ^/WWW\A,^/

Рис. А. 1. Предсказание реакции системы

Данное определение свидетельствует о том, что отклик линейной системы с входными синусоидальными сигналами должен составляться из синусоидальных сигналов с теми же частотами, что и у входных сигналов; обычно подобная система задается частотной передаточной функцией (частотной характеристикой), описывающей изменение ампли­туды и фазы сигнала на выходе схемы в зависимости от частоты, как показано на рис. А.2. На рис. А.2, а представлена характерная зависимость амплитуды передаточной функции от частоты; на рис. А.2, б показана зависимость фазы передаточной функции от частоты.

Передаточная функция является рабочей характеристикой системы, т.е. описывает отклик системы на каждую синусоиду. Следовательно, имея передаточную функцию системы, можно предсказать каждый выходной компонент. В соответствии с принци­пом суперпозиции эти отклики суммируются, что дает реакцию системы на входной периодический сигнал (рис. А.1). Подобным образом, зная входной и выходной сиг­налы, можно определить передаточную функцию системы.

Развитие методов Фурье-анализа оказало большое влияние на анализ линейных систем; оно позволило связать переходные процессы и методы работы с гармониче­
скими функциями, а также упростило анализ линейных систем при возбуждении их произвольным входным сигналом. Как логарифм позволяет заменить операцию ум­ножения операцией сложения, так и методы Фурье-анализа позволяют заменить сложные сигналы и их анализ гармоническими составляющими и методами гармони­ческого анализа.

б)

Рис. А.2. Передаточная функция сис­темы: а) амплитудная характери­стика; б) фазовая характеристика

А. 2.1. Разложение в ряд Фурье

Периодические сигналы с конечной энергией, передаваемой за период, можно пред­ставить в виде ряда Фурье. Произвольный периодический сигнал х(Х) выражается через бесконечное число гармоник с возрастающими частотами.

х(к) = уа₀ + в| cos Х + а₂ cos 2Х + а₃ cos ЪХ +... +

(А.1)

+ b_{ sin X + b₂ sin 2Х + sin 3X +...

Функции cos А. и sin А. называются основными', функции cos пХ и sin пХ при п> 1, где п— целое, именуются гармоническими. Члены а„ и Ь„ представляют коэффициенты (амплитуды) гармоник, а у а₀ — это постоянная составляющая.

Период функции х(Х) должен равняться 2л или величине, кратной 2л; кроме того, функция х(Х) должна быть однозначной. Ряд Фурье можно рассматривать как “рецепт приготовления” любого периодического сигнала из синусоидальных составляющих. Чтобы данный ряд имел практическое значение, он должен сходиться, т.е. суммы ря­да, как и гармоники с увеличением номера, должны иметь предел.

Процесс создания произвольного периодического сигнала из коэффициентов, опи­сывающих смешиваемые гармоники, называется синтезом. Обратный процесс вычис­ления коэффициентов именуется анализом. Вычисление коэффициентов облегчается тем, что среднее от перекрестных произведений синусоиды на косинусоиду (а также среднее любой синусоиды или косинусоиды) равно нулю. Ниже приводятся формулы, иллюстрирующие основные свойства средних от гармонических функций.

—71

П

jcos ink dk = 0

~7Z

П

Jsin ink cos nk dk = 0

sin mk sin nkdk- 0

Рассмотрим, как вычисляются значения коэффициентов а_п или Ь_п в формуле (А.1). Например, для вычисления коэффициента а_ъ обе части формулы (А.1) можно умно­жить на cos 3kdk, а затем проинтегрировать.

КПП

Jx(A.) cos Ък dk = J^o ^cos ЗА, dk + j"a]CosA.cos3A.dX +

К 71

+ ja₂ cos 2X cos ЪХ dX + Ja₃ (cos 3>.)² dk +...

= o

n n

+ fasmkcos3kdk + fa sin 2k cos 3kdk +

-П -71

= 0

+ fa sin 3k cos 3kdk +...

~K

= 0

7t П

Jx(A.) cos3A.<A.= Ja₃ (cos 3k)² dk = а_ъп

я₃= — Гл(Х)

TZ J

—7С

7С

= — Гх(Д.) cos пА, (А*5)

тс J

-к

к

b_n = — fjc(X) sin nA, (A.6)

я J

—7t

Коэффициент a₀ находится из (A.5) при п = 0. В результате получаем

7С

Гх(Х)Л.. (А.7)

2Л J

-7С

Данное выражение — это постоянная составляющая, или среднее значение периодиче­ского сигнала. Уравнение (А1) можно записать в более компактной форме.

х(к) = уд₀ + ^ (а_п cos nk + b_n sin пк) (А.8)

п = 1

Существует несколько способов записи пары преобразований (анализа и синтеза) Фурье. Наиболее распространенная форма — это выражение синуса и косинуса в экс­поненциальном виде:

/А*, -хК

cos к — — ■-, (А.9)

е^,Х - е~‘^К

sin к =. (А. 10)

2(

Периодическая функция с периодом Т₀ секунд имеет следующие частотные компо­ненты — /о, 2/₀, 3/₀,..., где/₀= 1/Т₀ называется собственной частотой. Иногда частотные компоненты записывают как coq, 2coq, 3coq,..., где coq = 2п1Т₀ именуется собственной уг­ловой частотой; частота/измеряется в герцах, частота со — в радианах в секунду. Заме­ним пк в аргументах гармонических функций в формулах (А.5)-(А.8) на 2rtnfy = 2nntlT₀, где п — целое. При п = 1, п/₀ представляет собственную частоту, а при п> 1 — гармоники собственной частоты. Используя формулы (А.8)-(А.Ю), можно за­писать x(t) в экспоненциальной форме.

*(') =Y + - й_п)е^1жт/°' + (а_п + ib_n)e-^2mnf°‘] (А. 11)

п = 1

Обозначим через с„ комплексные коэффициенты, или спектральные компоненты х(1), связанные с коэффициентами а_п и Ь„ следующим образом:

j(ci_n-ib_n) при л > О с„ = при п = О.

j(a_n+ib_a) при л < О

Теперь формулу (А. 11) можно упростить.

x(t)= %c_ne^lnnS*

Здесь амплитуды экспоненциальных гармоник определяются следующим образом:

Т₀п

с„=у $х(Ое^2к'^п/°'Ж. (А. 14)

-TJ 2

Для проверки справедливости формулы (А. 14) умножим обе части выражения (А. 13) на e^2nm/o>dt/T₀, проинтегрируем на интервале (-Т</2, Т</2) и используем следующую формулу:

7^ J 10 припфщ

-ТпП

Здесь 8„„ называется дельта-функцией Кронекера. После выполнения указанных дейст­вий получаем

(А. 16)

-Г₀/2

для всех целых /я. В общем случае коэффициент с„— комплексное число, которое можно записать следующим образом:

с_и=к|А, ' (А. 17)

^c-_n=kk“'^e". (a. is)

(А-19)

9„ = arctg - —1, (А.20)

Ь₀ = О и Со=-у-

Значение |с_я|—амплитуда л-й гармоники периодического сигнала, так что график за­висимости |с„| от частоты, называемый амплитудным спектром, дает амплитуду каждой

из п дискретных гармоник сигнала. Подобным образом график зависимости 0„ от час­тоты, именуемой фазовым спектром, дает фазу каждой гармоники сигнала.

Коэффициенты Фурье вещественной периодической по времени функции облада­ют следующим свойством:

(А.21)

где с* — комплексно сопряженное с„. Таким образом, получаем следующее:

Ы = ]с„|. (А.22)

Амплитудный спектр является четной функцией частоты. Подобным образов фазовый спектр 9„ — это нечетная функция частоты, поскольку из формулы (А.20) следует, что

0^ = -е„. (А.23)

Итак, как отмечалось выше, ряды Фурье особенно полезны при описании произ­вольных периодических сигналов с конечной энергией каждого периода. Кроме того, они могут использоваться для описания непериодических сигналов, имеющих конеч­ную энергию на конечном интервале. Впрочем, для таких сигналов более удобным является представление в виде интеграла Фурье (см. раздел А.2.3).

А.2.2. Спектр последовательности импульсов

В цифровой связи весьма важным сигналом является идеальная периодическая после­довательность прямоугольных импульсов, показанная на рис. А.З. Для коэффициентов ряда Фурье последовательности импульсов x_p(t) с периодом Т₀ (каждый импульс имеет амплитуду А и длительность Т) справедливо следующее выражение (проверить спра­ведливость можно с помощью формул (А. 14) и (А. 10)):

AT sin(ппТ/Т₀) АТ. пТ

с„ =------------------------------ sine —

" Т₀ ппТ/Т₀ Т₀ Т₀

Xp(t)

-Т/2

-То-

Рис. А.З. Последовательность импульсов

В данном выражении

sin(7ry)

пу

Функция sine, как показано на рис. А.4, достигает максимума (единицы) при у = 0 и стремится к нулю при у -> ±°°, осциллируя с постепенно уменьшающейся амплиту­дой. Через нуль она проходит в точках у = ±1, ±2,.... На рис. А.5, а как функция от-

ношения п/Т₀ показан амплитудный спектр последовательности импульсов |с„|, а на рис. А.5, 6 изображен фазовый спектр 0„. Следует отметить, что положительные и от­рицательные частоты двустороннего спектра — это весьма полезный способ матема­тического выражения спектра; очевидно, что в лабораторных условиях воспроизвести можно только положительные частоты.

sine у  

	! I				-| * I I
-К	I I !				I ’ - - ’ I I I I I

б)

Рис. А.5. Спектр последовательности импульсов: а) амплитуд­ный; б) фазовый

Синтез выполняется посредством подстановки коэффициентов из формулы (А.24) в формулу (А. 13). Получаемый ряд представляет исходную последовательность им­пульсов x_p(t), синтезированную из составных элементов.

(А.25)

Идеальная периодическая последовательность импульсов включает все гармоники, кратные собственной частоте. В системах связи часто предполагается, что значительная часть мощности или энергии узкополосного сигнала приходится на частоты от нуля до первого нуля амплитудного спектра (рис. А.5, а). Таким образом, в качестве меры ширины полосы последовательности импульсов часто используется величина 1 IT (где Т — длитель­ность импульса). Отметим, что ширина полосы обратно пропорциональна длительности импульса; чем короче импульсы, тем более широкая полоса с ними связана. Отметим так­же, что расстояние между спектральными линиями Дf= УТ₀ обратно пропорционально пе­риоду импульсов; при увеличении периода линии располагаются ближе друг к другу.

А.2.3. Интеграл Фурье

В системах связи часто встречаются непериодические сигналы, имеющие конечную энергию в конечном интервале и нулевую энергию за пределами этого интервала. По­добные сигналы удобно описывать, используя представление в виде интеграла Фурье, или просто Фурье-образ. Непериодический сигнал можно описать как периодический в предельном смысле. Рассмотрим, например, последовательность импульсов, показанную на рис. А.З. Если Т₀ стремится к бесконечности, последовательность импульсов превра­щается в отдельный импульс x(t), число спектральных линий стремится к бесконечно­сти, а график спектра превращается в гладкий спектр частот X(f). Для данного предель­ного случая можно определить пару интегральных преобразований Фурье

  ©о

(А.26)

  •оо

(А.27)

где /— частота, измеряемая в герцах. Данную пару преобразований можно использо­вать при описании частотно-временных соотношений непериодических сигналов.

С этого момента применение прямого преобразования Фурье (А.26) будем обозна­чать 5{-}, а обратного преобразования (А.27) —;г'{-}. Связь частотной и временной областей будем указывать с использованием знака

x(t)^X(j).

Данная запись означает, что X(j) получается в результате применения прямого преоб­разования Фурье к x(t), a x(t)— в результате применения обратного преобразования Фурье к X(f). В контексте систем связи x(t) — вещественная функция, a X(f) — ком­плексная функция, имеющая действительный и мнимый компоненты; в полярной форме спектр X{f) можно задать через его амплитудную и фазовую характеристики.

Свойства X(f), спектра непериодического сигнала, подобны свойствам периодического сигнала, представленным в формулах (А.17)-(А.23); т.е. если *(/) принимает вещест­венные значения, то

где X* — комплексно сопряженное X. Амплитудный спектр |Х(/)| — это четная функ­ция/, а фазовый спектр — нечетная функция/. Во многих случаях функция X(J) имеет или только действительную часть, или только мнимую, так что для ее описания доста­точно одного графика.

А.З. Свойства преобразования Фурье

Существует множество хороших справочников, в которых подробно рассмотрены пре­образования Фурье и их свойства [1-4]. В данном приложении внимание акцентирует­ся на свойствах, представляющих интерес в теории связи. Некоторыми ключевыми особенностями передач в системах связи являются временная задержка, сдвиг фазы, перемножение с другими сигналами, трансляция частоты, свертка сигнала и свертка спектра. Остановимся подробнее на свойствах преобразования Фурье (сдвиг и сверт­ка), необходимых для описания данных особенностей.

Ai.3.1. Сдвиг во времени

Едли x(t) X(j), то

(А.31)

if

Пусть ц = t -1₀, тогда

ffWr-f₀))= \xWe-^2m'^l+'⁾d\L =

= X(f)e~^2K,f,°.

Если сигнал запаздывает во времени, амплитуда его частотного спектра не меняет­ся, а фазовый спектр сдвигается по фазе. Сдвиг на время t₀ во временной области эк­вивалентен умножению на e~^2K‘^fio (сдвигу фазы на -2nft₀) в частотной области.

А.3.2. Сдвиг по частоте

Если x(t) <г-> X(J), то t

,?{x(t)e²'^vr°')= \x(t)e²^e'^2x‘^f,dt =

= W-fol (А.32)

Выше приведено свойство трансляции частоты, которое описывает смещенный

спектр, возникающий при умножении сигнала на. Используя формулу (А.32) вместе с формулой (А.9), можно получить выражения для Фурье-образа сигнала, ум­ноженного на косинусоиду.

x(t) cos 2nfy = Mx(t)e^2m/ot + x(t)e~^2Klfot]

(A.33)

x(/)cos2nfy <-> £[*(/- /₀) + X(/ + f₀)]

Данное свойство также называется теоремой о модуляции (или смешивании). Умноже­ние произвольного сигнала на синусоиду частоты /₀ приводит к трансляции исходного спектра сигнала на /„ и -/₀.

А.4. Полезные функции

А.4.1. Дельта-функция

Полезной функцией в теории связи является так называемая дельта-функция Дира­ка, или единичный импульс, 8(/). Импульсную функцию можно получить из любой фундаментальной функции (например, прямоугольного или треугольного импуль­са). В любом случае импульсная функция определяется в пределе (амплитуда импуль­са стремится к бесконечности, длительность импульса — к нулю, а площадь импульса равна единице) [5]. Единичная импульсная функция имеет следующие свойства:

|б(/)Л = 1,

5(f) = 0 при t * О,

6(0 не ограничена в точке t = 0,

5{5(f)}=5"'{5(/)} = l,

|д:(/)5а-Г₀)Л = л:(Г₀). (А.38)

Формула (А.38) представляет фильтрующее свойство', результат интегрирования произ­ведения функции х(/) с дельта-функцией — выборка функции x(t) в точке t = t₀.

В некоторых задачах полезными бывают следующие представления дельта­функции в частотной и временной областях:

A A. rirtnoouuo rKv/ub'i imm

Для нахождения Фурье-образа синусоидального сигнала необходимо предположить, что данный сигнал существует только в интервале (-TJ2 <t< TJ2). При таком условии функция будет иметь Фурье-образ, пока Т₀ будет конечно. В пределе Т₀ предполагает­ся очень большим, но конечным. Спектр сигнала д:(/) = A cos 2nfy можно найти, ис­пользуя формулы (А.9) и (А.26).

Как видно из формулы (А.40), данное интегральное выражение можно записать через следующие единичные импульсные функции:

*(/) =-|[5(/-/„)+ 8(/+ /„)].

Подобным образом можно показать, что спектр синусоидального сигнала y(t) = A sin 2nfy равен следующему:

П/)=^[8(/-/о)-8(/ + /₀)].

2 (

Спектр косинусоидального сигнала показан на рис. А.6, а спектр синусоидального сигнала — на рис. А.7. Все дельта-функции на этих рисунках изображены как пики с весовыми коэффициентами Д/2 или -Д/2.

X{f)

А/ 2

-f₀ 0 f₀ Рис. А.6. Спектр сигнала x(t) — A cos 2nf₀i

А. 5. Свертка

В конце XIX века Оливер Хевисайд (Oliver Heaviside) использовал свертку для вычис­ления тока на выходе электрической схемы, на вход которой подан сигнал, описывае­мый сложной функцией напряжения. Использование методов Хевисайда предшество­вало применению аналитических методов, разработанных Фурье и Лапласом (хотя публикации Фурье и Лапласа вышли раньше).

Ппп ппм/оима Л Пйолп аиапмоо rh\/nuo

to

-A/2

Рис А. 7 Спектр сигнала y(i) = A sin 2nf₀i

Отклик схемы на входное импульсное возмущение v(t) = 8(0 называется импульсной характеристикой и обозначается h(t), как показано на рис. А.8, т.е. это просто выход­ное напряжение, полученное при подаче на вход дельта-функции. Хевисайд аппрок­симировал произвольный сигнал, подобный показанному на рис. А.9, о, набором рав­ноотстоящих импульсов. Подобные импульсы конечной высоты и ненулевой длитель­ности показаны на рис. А.9, б. В пределе при длительности импульса Ат—>0 каждый импульс стремится к дельта-функции с весовым коэффициентом, равным площади импульса. Далее будем считать, что данные равноотстоящие импульсы имеют нулевую длительность, хотя строго они являются такими только в пределе.

Поскольку нас интересует как время подачи импульсов на вход, так и время на­блюдения реакции на них на выходе, следует весьма аккуратно использовать обозна­чения различных величин, связанных со временем. Поэтому определим две различные временные последовательности; начнем с использования следующей формы записи.

1. Время на входе будем обозначать через х, так что входные импульсы напряжения будут записываться как v(t,), v(t₂),..., v(x_w).

2. Время на выходе будем обозначать через /, так что выходные функции тока будут записываться как /(/,), i(t₂),..., i(t_N).

Хевисайд нашел отклик схемы (или ток на выходе) для каждого входного импульса; по­сле этого он сложил эти токи и получил общий ток на выходе. Весовой коэффициент прямоугольного импульса, поданного в момент т_ь — это произведение v(Ti) Ат. Если уст­ремить Ат к нулю, последовательность импульсов будет аппроксимировать произвольное входное напряжение настолько точно, насколько это нужно. Снова отметим, что момент подачи импульса на вход — это т„ а момент определения реакции системы — /„ где х — переменная входного времени, a t— переменная выходного времени, i = 1,..., N.

---

Дата добавления: 2015-10-28