Д.З. Цифровая фильтрация

С помощью подходящих аналоговых и цифровых компонентов цифровой фильтр можно настроить на выполнение селекции желаемой частоты или модификации фазы. На рис. Д.З показаны компоненты, необходимые для создания цифрового фильтра, дающего выходную последовательность у(к) при входной последовательности х(к) [2]. Выходной сигнал фильтра у (к) создается из взвешенной суммы предыдущих входных сигналов х(к) и предыдущих выходных сигналов у(к - п), где п > 0. На рис. Д.4 показан поточный граф сигнала (состоит только из сумматоров, умножителей и схем задержки выборки) для цифрового фильтра с четырьмя весовыми коэффициентами прямой свя­зи и тремя весовыми коэффициентами обратной связи. (Задержка, длительность кото­рой равна длительности одной выборки, обозначена символом Д. Довольно часто по­добные графы изображаются с использованием обозначений временной области и z-области, где для представления задержки применяется запись г'¹; несмотря на ши­рокое распространение такой формы записи, она не является строгой.)

At) х(к)   сигнал сигнал Рис. Д 3 Уравнения цифрового фильтра реализуются на устройстве цифровой об­работки сигналов, преобразовывающем входной дискретный информационный сиг­нал в выходной дискретный информационный сигнал

Выход данного фильтра описывается следующим выражением: у(к) = аох(к) + а\х(к - 1) + а₂х(к - 2) + а^(к - 3) +

+ b_{y(k - 1) + Ьту(к - 2) + Ь₃у(к - 3) =

3 3 (Д-26)

= X ^ап^х('^к ~ ⁺ X ^ЬтУ('^к ~ '

л = 0 т- 1

Применение г-преобразования к формуле (Д.26) дает следующий результат:

У(г) = + а,Х(г)г~‘ + я₂Х(г)г~² + азХ(г)г'³ +

+ i>i К(г)г^_| + b₂Y(z)z~² + b₃Y(z)z7³.

Д.3.1. Передаточная функция цифрового фильтра

Передаточная функция цифрового фильтра, изображенного на рис. Д.4, получается после преобразования выражения (Д.27) и выглядит следующим образом:

щ.)- _ ^ао ^+a\Z~ ^[15] + a₂z~² +a₃*~³ X(z) 1- b\Z~^x + b₂z~² +b₃z ~³

_ ao(l-aiz~¹)(l-a₂z~¹)(l-a3Z~¹) _ (Д.28) (1 - p_lZ^_I)(1 - Р₂г^-1)(1 - Э₃г^-1)

_ a₀(z-a₁)(z-a₂)(z-a₃) _ A(z)

(г-р^Сг-РгХг-Рз) B(z)

Здесь через a обозначены нули, а через Р — полюса г-области, которые находятся как корни полинома числителя A(z) и полинома знаменателя B(z). Для цифрового фильт­ра, подобного изображенному на рис. Д.4, но имеющего N весовых коэффициентов прямой связи и М- 1 коэффициентов обратной связи, полиномы числителя и знаме­нателя в передаточной функции, приведенной в формуле (Д-28), будут иметь, соответ­ственно, порядок N и М

Д.3.2. Устойчивость однополюсного фильтра

Вследствие наличия в потоковом графе численных обратных связей, цифровой фильтр может быть (численно) неустойчивым. Рассмотрим, например, фильтр с одним весо­вым коэффициентом обратной связи, изображенный на рис. Д.5.

y(k)=x(k) + by(k- 1) (Д.29)

Импульсная характеристика данного фильтра (т.е. подача на вход единичного импуль­са 8(к) плюс применение принципов свертки, описанных в разделе А. 5) имеет сле­дующий вид:

h(k) = Ь^к. (Д-30)

Если Н<1, импульсная характеристика фильтра сходится (устойчива); если |6| > 1, импульсная характеристика фильтра расходится (неустойчива). На рис. Д.5 показана сходящаяся импульсная характеристика с \b\< 1; более точно, -1 <b< 1. Применение г-преобразования к выражению (Д.29) дает следующее:

а)

б)

Рис. Д.5. Потоковый граф фильтра с одной обратной связью: а) во временной области; б) в г-области

Используя формулу (Д.З 1), получаем потоковый граф в г-области (рис. Д.5, б), соот­ветствующий потоковому графу во временной области, изображенному на рис. Д.5, а. Элемент задержки (который на рис. Д.5, а обозначен через Д) теперь представляется как г^-1, а вход и выход заданы как г-образы X(z) и Y(z). Отметим, впрочем, что общая топология двух графов одинакова. (Это частично объясняет то, что потоковые графы цифровых фильтров часто изображаются с использованием обозначений временной области и г-области.) Критерий устойчивости (|6| < 1) можно сформулировать следую­щим образом: система устойчива, если полюсы (или корни полинома знаменателя) пере­даточной функции цифрового фильтра меньше единицы.

Д.3.3. Устойчивость произвольного фильтра

При изучении факторизованной передаточной функции, приведенной в форму­ле (Д.28), поточный граф, представленный на рис. Д.4 для временной области, можно преобразовать в поточный граф в г-области (рис. Д.6). Последний граф — это,-факти­чески, графическое представление формулы (Д.28), переписанной в следующем виде:

Я(г) = ао(1 - a,z ') ■ (1 - a₂z ') ■ (1 - азг ') •

I 1Г 1 1Г 1

PiZ^-1 1-P₂z^_1 _ 1 — P3Z^-1

  Рис. Д.6. Цифровой фильтр как последовательность каскадов прямой и обратной связи первого порядка

В данном выражении (и на рисунке) обособлены все блоки первого порядка, описы­ваемые нулями и полюсами фильтра. Чтобы фильтр был устойчивым, модули всех по­люсов (Р,, р₂> Рз) каскада должны быть меньше 1. Если хотя бы один блок первого по­рядка неустойчив (или расходится), неустойчивым является и весь каскад. Как отме­чалось для преобразования Лапласа, полюса (и нули) z-области могут быть комплексными, поэтому в качестве критерия устойчивости используется их абсолют­ная величина, а не амплитуда. (Стоит сказать, что реализация поточного графа, пред­ставленная на рис. Д.6, — это всего лишь иллюстрация принципов анализа; реальный цифровой фильтр никогда не реализуется в подобной факторизованной форме, по­скольку в этом случае некоторые множители могут быть комплексными, а это может повлечь за собой ненужное усложнение вычислительных требований фильтров.)

Д.3.4. Диаграмма полюсов-нулей и единичная окружность

Если комплексные нули и полюса фильтра или линейной системы изобразить на плоскости с действительной и мнимой осями, данную плоскость можно будет на­звать г-плоскостью (или комплексной плоскостью). Система является устойчивой, если все ее полюса находятся внутри единичной окружности. На рис. Д.7 показан вид ^-плоскости для следующей передаточной функции.

Мнимая часть '

; г-плосн	сость
I s s ~t— -		{*1 - -X	i
-1 f		P2
! f i--------	-1		__

х Полюсы о Нули

.Действительная часть

Рис. Д.7.Полюсы и нули, изображенные на z-плоасости

(1 - (1 + /V2)z^-1)(1 - (1 - i-j2)z~^l)

(1-(1/3 + iV2/3)z^_,)(1-(1/3-iV2/3)z^_1)

(1-а₁г~¹)(1-а₂г~¹)

а-р^-^а-ргг-¹)

Нули данной функции — z = 1 + i-Jl и z = 1 - i4l, полюсы — z = 1/3 + i4l /3 и z = 1/3 - i-Jl / 3. Поскольку все полюсы лежат внутри единичной окружности, данный фильтр

является устойчивым.

Д.З.5. Дискретное преобразование Фурье импульсной характеристики цифрового фильтра

Частотная характеристика цифрового фильтра вычисляется из дискретного преобразо­вания Фурье (discrete Fourier transform — DFT, ДПФ) импульсной характеристики фильтра. Напомним вид преобразования Фурье, приведенного в формуле (А.26).

(Д-34)

Данную формулу можно использовать для вычисления Фурье-образа импульсной ха­рактеристики фильтра. Ее можно упростить, полагая, что используется дискретная версия сигнала x(t), причем выборка сигнала производится каждые T_s = l/f_s секунд.

X(f)= ^x(kT_s)e~^2KiJkT’d(kT_s)= '£x(kT_s)e~^2KiJkT’ = '^x(kT_s)e~^(2KlJk)lf' (Д.35)

к =-<

Разумеется, импульсная характеристика цифрового фильтра является причинной, и первая выборка импульсной характеристики производится в момент к = 0, а послед­няя — в момент k = N-l, что в сумме дает N выборок на одно преобразование. Таким образом, для данного конечного числа выборок можно переписать формулу (Д.25), использовав не явное время кТ„ а число выборок к.

(Д-36)

Отметим, что значение выражения (Д.36) вычисляется для непрерывной частот­ной переменной /. В действительности же нам требуется знать это значение для некоторых определенных частот — нулевой частоты (постоянной составляющей) и гармоник “собственной” частоты; всего N дискретных частот: 0, /₀, 2/₀ и так до f_s,

где/о = l/NT_s.

X ^ x(k)e~^^2ll,kf’^n)INf' для n от 0 до /V - 1 (Д-37)

^ * = 0

Выражение выше можно упростить, использовав только временной индекс к и частот­ный индекс п. В результате получаем дискретное преобразование Фурье (discrete Fourier transform — DFT, ДПФ).

V- 1

X(n)=^x(k)e~^{2mkn)/N для и от 0 до N - 1 (Д.38)

к = О

Поскольку частота дискретизации сигнала х(к) равна f_s выборок/с, сигнал включает воображаемые (или вымышленные) компоненты на частотах свыше fJ2. Следователь­но, при вычислении значения выражения (Д.38) достаточно ограничиться частотами до fJ2. Отметим, что формула (Д.38) аналогична формуле (Д.23), если положить z = _e(2 mn)/N дд_Я последовательности выборок длиной N.

Дата добавления: 2015-10-28