Таким образом, можно переписать формулу (Д.1).

X(o+io))= ^x(t)e~^ ^{+ my,}dt (Д.З)

Пусть s — комплексная частота, s - а + /со, тогда Фурье-образ временного сигнала x(t) можно определить следующим образом:

X(s) = [x{t)e~^s,dt, (Д-4)

где s — переменная Лапласа. Перепишем обратное преобразование Фурье, приведен­ное в формуле (А.27), через угловую частоту со = 2л/; тогда da>/df= 2л и

х(0=]х(а>У^в,|^. (Д-5)

Поскольку s = o + /со, из этого следует, что ds/da = i, и мы можем определить обратное преобразование Лапласа следующим образом:

G + /00

x(t) =Т~7 fx(*)**ds. (Д-6)

2л i J

О - /оо

Формулы (Д.4) и (Д.6) представляют пару преобразований Лапласа [х(г) X(s)], или, более точно, пару двусторонних преобразований Лапласа. Если (разумно) предположить, что до момента f = 0 сигнал не существует (т.е. является причинным), то преобразова­ние можно назвать односторонним, что записывается следующим образом:

X(s)= fx(t)e~^stdt. (Д.7)

Ппмппжрнир Л ч-пблагггь z-область и иисЬоовая Фильтрация

Обратное одностороннее преобразование Лапласа аналогично преобразованию, приве­денному в формуле (Д.6). Таким образом, формулы (Д.6) и (Д.7) можно называть па­рой односторонних преобразований Лапласа.

Д.1.1. Стандартное преобразование Лапласа

В табл. Д.1 приведены некоторые стандартные односторонние преобразования Лапласа. Отметим, что (двустороннее) преобразование Лапласа, приведенное в формуле (Д.4), идентично преобразованию Фурье, приведенному в формуле (А.26), при s = tea, где ю=2л/. Для получения Лаплас-образа x(t) умножается на “множитель сходимости” е^-®, где а — любое вещественное число. Таким образом, при фактическом вычислении зна­чений интегралов преобразование Лапласа может существовать для многих функций, для которых отсутствует соответствующее преобразование Фурье. Одним из ключевых преимуществ преобразования Лапласа является возможность преобразования функций, не являющихся абсолютно интегрируемыми.

Таблица Д.1. Преобразования Лапласа

Тип сигнала	Временная функция	Лаплас-образ
Импульс	5(0
Единичная ступенчатая	«(0
функция (Хевисайда)		s
Линейно растущая функция	tu(t)	_2
Экспоненциальные функции	e‘"u(t)	s
		s- a
	te“'u(t)
		(s-a)^2
Синусоида	sin(aw)H(0	(0
		(j^2 +(D^2)
Косинусоида	cos((Of)«(0
		(j^2 + (D^2)
Затухающая синусоида	e“'sin(aw)«(f)	(0
		(s-a)^2 +(D^2
Затухающая косинусоида	e‘“cos(m)u(t)	(s-a)
		(s-a)^2 + 0 )^2

Д.1.2. Свойства преобразования Лапласа

Можно показать, что если известна пара преобразований Лапласа y(t) K(s), то для запаздывающей версии сигнала, которая записывается как y(t - 1 ₀), справедли­во следующее:

Данное свойство называется свойством смещения во времени. Другие свойства преоб­разования Лапласа приведены в табл. Д.2. Их справедливость можно проверить путем простой подстановки в интегральное выражение, описывающее соответствующее пре­образование. Отметим, что соотношение s = /со между преобразованиями Фурье и Лап­ласа означает, что существует простой эквивалентный переход между преобразова­ниями, приведенными в табл. Д.1 и А.1, и свойствами, указанными в табл. Д.2 и А.2.

Таблица Д.2. Свойства преобразования Лапласа

Свойство	Временная функция	Лаплас-образ
Произвольная функция	x(t)	X(s)
Произвольная функция	y(t)	Y(s)
Линейность	ax(t) + by(t)	aX(s) + bY(s)
Сдвиг во времени (х > 0)	x(t-x)	e-«X(s)
Масштабирование времени	x(at)	a \aJ
Модуляция	e^'xit)	X(s - a)
Дифференцирование	dx(t)	sX{s)-x(0)
	dt
И нтегрирование	t ft	X(s)
	I x(x) dx	s
Свертка	x{t) * y(t)	X(s)Y(s)

Д.1.3. Использование преобразования Лапласа

Преобразования Лапласа полезны, когда требуется решать дифференциальные (по времени) уравнения или выполнять операцию свертки. Например, для нахождения тока i(t) простой ЯС-цепи, показанной на рис. Д.1, отметим, что сумма напряжений на конденсаторе и сопротивлении равна входному напряжению.

I

V_in(0 = i(t)R + j: = i(t)R + Ji(f) dt (Д.9)

о

Если входное напряжение — это единичная ступенчатая функция, v_m(t) = u(t), a q — за­ряд конденсатора (в кулонах), то, применяя к обеим частям формулы (Д.9) преобразо­вание Лапласа и используя табл. Д.1 и Д.2, получаем следующее:

Vj_n (s) = Rf(s) + откуда следует I(s) = — — — = —. (Д. 10)

' sC ^У R + l/(sC) s + l/(RC)

Ппилпжрнир Я. s-область z-область и иисЬоовая сЬильлгоациЯ

0,1/ЗдБ ^ЗдБ 10^ЗдБ 10О/ЗдБ 10ОО^здБ ВДГц)

В)

Рис. Д. 1. Использование преобразования Лапласа: a) RC- контур; б) представление с помощью преобразования Лапласа; в) амплитудная характеристика

(Для единичной ступенчатой функции V_m(s) = 1/s.) Затем, возвращаясь во временную об­ласть (и снова используя таблицы свойств преобразования Лапласа), получаем следующее:

т=\е-''^. (Д.11)

А

Д.1.4. Передаточная функция

С помощью преобразования Лапласа можно определить (через переменную s) переда­точную функцию линейной системы. Из уравнения (Д. 10) при нулевом сопротивле­нии R = 0 импеданс конденсатора можно вычислить следующим образом:

^z--7Spi- ^(ДЛ2)

Входное и выходное напряжения (в s-области) можно записать следующим образом:

V_in (*) = I(s)R +^ и K_out (s) = М. (Д. 13)

s С s С

Таким образом, (в i-области) передаточную функцию можно определить следующим образом:

т

H(s)= ^V°^{ut(s) sC} — - =. Д. 14)

y.w 1_Ш+М лс+1

sC

Пусть на вход RC-цепи подается комплексная синусоида v_jn(t) = ё^и\ Используя сказанное выше, можем перейти к преобразованию Фурье, положив s = i(0, где со = 2л/. Таким обра­зом, из передаточной функции можно получить частотную характеристику цепи.

V(/> — ^ ^ ^ _-i|arctg(2Ti/RC)l

^-qdrcigv^yAC;j

^in (/) ico/fC + l InifRC + 1 ^(2nfRC)²+ 1

Для малых значений / \H(j)\ = 1; а для больших значений / \H(j)\ ~ 0. Если /=/₀ = 1/(2я/?С), то

\H(J)\ ~ 1/V2. Отметим, что 20 lg(l/ >/2) = - 3 дБ; следовательно, /₀ — это частота по уровню

-3 дБ,⁴ когда выходная мощность вдвое меньше входной. Следовательно, формула (Д. 15) задает тот же фильтр нижних частот, что и формула (1.63). Низкие частоты проходят через фильтр, а высокие — подавляются; данная ситуация показана на рис. Д.1, в.

Д.1.6. Полюсы и нули

Линейные системы, а следовательно и (линейные) аналоговые фильтры, можно пред­ставить дифференциальными уравнениями во временной области. Рассмотрим, на­пример, следующее уравнение второго порядка.

= _{+ +} (Д. 16)

dt² dt dt² dt

Реализация дифференцирования и/или интегрирования различных порядков происхо­дит с использованием емкостей и индуктивностей вместе с усилителями с обратной связью, имеющими нужный порядок [2]. Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (Д. 16), получаем более удобное (с точки зрения математики и фор­мы записи) уравнение Лапласа.

Y(s) = As²X(s) + BsX(s) + CX(s) + Ds²Y(s) + EsY(s) (Д.17)

Передаточная функция записывается в следующем виде:

П(-Л ^As2+bs+^c А(5-а₀)(5-а₁)

X(s) -Ds^-Es+i - D(s-b₀)(s-b _t) '

Корни числителя {я₀, «1} называются нулями, а корни знаменателя {b₀, fc,} — полюсами. Отметим, что если А, В я С— вещественны, нули {а₀, а_{} являются комплексно­сопряженными.

Д.1.7. Устойчивость линейных систем

Рассмотрим однополюсное уравнение, соответствующее некоторой линейной системе.

H(s) = — (Д. 19)

s-a

Импульсную характеристику данной системы можно (используя табл. Д.1) найти как обратное преобразование Лапласа выражения (Д. 19); если а = р +1£, то импульсная характеристика выглядит следующим образом:

Видим, что Re[a] = р; если р > 0, импульсная характеристика расходится с увеличени­ем t (времени). В то же время, если р < 0, импульсная характеристика сходится с уве­личением г. Член е'^ — это комплексная (осциллирующая) синусоида (см. раз­дел А.2.1). Используя формулировку, несколько отличающуюся от применяемых ра­нее, можно сказать, что система устойчива, если все полюса в s-области имеют отрицательную действительную часть.

Таким образом, если изобразить полюса на комплексной.v-плоскости, все они должны располагаться в ее левой части. На рис. Д.2 показана область устойчивости и приведен пример устойчивой передаточной функции третьего порядка, все полюса ко­торой попадают в левую часть комплексной 5-плоскости, т.е. имеют отрицательную действительную часть. Отметим, что нули функции могут быть в левой или правой части 5-плоскости, и это не влияет на устойчивость.

Мнимая часть

_H(s) _ s³-0,5s²+ 0,12s-0,008 s³ + 2s² + 1,5s + 0.5

s-плоскость _ (s- 0,1)(s² -0,4s + 0,08)

(s+ 1)(s² -h s +- 0,5)

—► Действительная _ (s-0,1)(s-0,2 + 0,2/)(s-0,2-0,2/) ^часть (s+ 1)(s + 0,5-0,5/)(s + 0,5 + 0,5/)

О

--0,5

Нули в точках s = 0,t, 0,2-0,2/, 0,2 + 0,2) Полюсы в точках s = -1, -0,5-0,5/, -0,5+ 0,5/

Рис. Д.2. Нули и полюса передаточной функции, изображенные в s-области

Если цепь имеет более одного полюса, передаточную функцию можно рассматри­вать как последовательность однополюсных функций

Для устойчивости все полюсы должны находиться в левой части комплексной плоскости. Отметим, что для реальных схем с вещественными коэффициентами Лапласа (т.е. в урав­нении (Д. 16) А, В, С, D и Е — вещественные) полюсы и нули будут вещественными или бу­дут разбиты на пары комплексно-сопряженных величин, как показано на рис. Д.2.

Для нашего предыдущего примера /fC-цепи передаточная функция в формуле (Д. 14) является безусловно устойчивой, поскольку 2nRC — это всегда положительная величина, что, разумеется, является ожидаемым результатом. Неустойчивость в линейных системах возникает только при наличии в них обратной связи (рекурсии), например, при использо­вании фильтров с инвертирующими или неинвертирующими усилителями.

Дата добавления: 2015-10-28