Функции двух переменных

Пусть решается задача на условный экстремум

Запишем функцию Лагранжа

.

Составим систему для нахождения критических точек

Пусть в результате решения этой системы найдена критическая точка . Тогда в этой точке равны нулю частные производные

,

следовательно, и дифференциал первого порядка .

Наличие экстремума функции в точке определяется по тому, что является или нет знакоопределенной функцией приращение функции в окрестности этой точки. Ввиду того, что дифференциал первого порядка в этой точке равен нулю, в первом приближении . Если в критической точке , то и точка является точкой минимума. Если же , и точка является точкой максимума.

Дифференциал второго порядка функции трех переменных является квадратичной формой относительно .

.

В матричной записи этот дифференциал имеет вид

.

Данную квадратичную форму можно исследовать на знакоопределееность с помощью критерия Сильвестра.

Согласно данному критерию, для того чтобы квадратичная форма была знакоположительной в некоторой d-окрестности точки , т.е. , должны быть положительными все три главных минора матрицы этой формы.

, , .

В этом случае функция будет иметь минимум в точке .

Для того чтобы квадратичная форма была знакоотрицательной в некоторой d-окрестности точки , т.е. , должны быть отрицательными первый и третий главные минора матрицы, а второй минор - положительный.

. , .

В этом случае функция будет иметь максимум в точке .

В более удобном виде достаточный признак на условный экстремум функции двух переменных в критической точке записывают в виде одного определителя

.

Если D > 0, то - точка минимума, если D < 0, то - точка максимума.

Пример 3.27. Найти наибольший объем и длину ребер прямоугольного параллелепипеда, если его полная поверхность равна 2 а.

Обозначим длины ребер параллелепипеда через x, y, z. Тогда его объем , а полная поверхность равняется . Поделим это равенство на 2, получим уравнение , которое является ограничением при нахождении максимального объема параллелепипеда. Таким образом, задача формулируется следующим образом.

Найти максимум функции

при условии, что ее переменные удовлетворяют уравнению

.

Запишем функцию Лагранжа

.

Составим систему уравнений для нахождения критических точек.

Умножим первое уравнение на х, второе на y, а третье на z и сложим, получим

Подставим это значение l в систему уравнений и поделим первое уравнение на yz, второе на xz, а третье на xy.

.

Отсюда получаем

,

,

.

Из равенства получаем .

Так как все ребра параллелепипеда равны , то объем .

Пример 3.28. Найти условные экстремумы функции при (Рис. 54).

Рис. 54

Запишем функцию Лагранжа

.

Составим систему для нахождения критических точек

Из первого и второго уравнений найдем .

Из третьего уравнения получим .

Тогда , .

Критические точки , исследуем на экстремум по достаточному признаку.

Найдем частные производные второго порядка: , , , , , .

Вычисляем значения этих производных в критической точке и составляем определитель D.

, , ,

, , .

.

Следовательно, в точке функция имеет локальный максимум. Вычисляем значение функции в этой точке

.

Вычисляем значения производных функции в критической точке и составляем определитель D.

, , ,

, , .

.

Следовательно, в точке функция имеет локальный минимум. .

О т в е т. в точке ;

в точке .

Дата добавления: 2015-10-02