Производная функции, заданной неявно

Функция называется заданной неявно, если она задана уравнением неразрешенным относительно z.

Например, , .

Уравнение геометрически представляет поверхность в трехмерном пространстве. Пусть на этой поверхности имеются две точки и . Приращение функции при переходе от точки М к точке равняется .

Будем считать, что функция является дифференцируемой. Тогда можно представить в виде

,

где - бесконечно малые функции по сравнению с , .

Найдем

.

Так как и стремятся к нулю при , то

. Отсюда следует .

Аналогично можно получить формулу для производной по второй переменной y .

Таким образом, формулы для нахождения частных производных функции , заданной неявно, имеют вид

;

или более кратко можно записать

.

Неявная функция одной переменной задается уравнением . Формула для нахождения ее производной имеет вид

или .

Пример 3.19. Найти производную функции , заданной уравнением .

Находим .

Пример 3.20. Найти частные производные функции , заданной уравнением .

Находим .

.

Дата добавления: 2015-10-02