Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Метод наименьших квадратов (МНК)

Полный дифференциал функции нескольких переменных | Переменных для приближенных вычислений | Частные производные высших порядков | Дифференциалы высших порядков | Частные производные сложной функции нескольких переменных | Производная функции, заданной неявно | Производная функции по направлению | Градиент функции, его свойства | Формула Тейлора для функций двух переменных | Необходимый признак локального экстремума |


Читайте также:
  1. I. Методические рекомендации курсантам по подготовке к групповому упражнению.
  2. I. Методические рекомендации курсантам по подготовке к групповому упражнению.
  3. I. Методические рекомендации курсантам по подготовке к практическому занятию.
  4. II. МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
  5. II. МЕТОДЫ, ПОДХОДЫ И ПРОЦЕДУРЫ ДИАГНОСТИКИ И ЛЕЧЕНИЯ
  6. Nbsp;   ІІ. Опис приладів і методика вимірювання
  7. Абстрактые классы, виртуальные методы. Наследование и замещение методов.

При решении экономических задач часто возникает необходимость представления опытных данных в аналитическом виде. Наиболее известным математическим методом для этих целей является метод наименьших квадратов.

Пусть имеются опытные данные в виде таблицы

 

.......
.......

 

из двух строк, в первой строке которой находятся значения некоторой переменной, принимаемой за независимую, а во второй соответствующие значения другой переменной, принимаемой за функцию. Требуется найти аналитическую функциональную зависимость .

Наиболее просто найти аналитическую зависимость возможно с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, который в общем виде записывается следующим образом

 

.

 

График данной функции проходит совершенно точно через заданные точки (рис. 50).

 

Рис. 50

 

В случае, если имеются два точки , , то данная формула позволяет написать уравнение прямой, проходящей через эти точки

.

В случае, если имеются три точки , , , то данная формула позволяет написать уравнение параболы, проходящей через эти точки

.

Если известно n точек, то можно написать уравнение линии, представляющей многочлен (n -1)-ой степени относительно х.

Пример 3.25. Написать уравнение параболы, проходящей через точки .

В соответствии с многочленом Лагранжа записываем

, т. е. .

Интерполяционный многочлен Лагранжа позволяет записать уравнение кривой, проходящей через любое число заданных точек. Однако, его удобно использовать при небольшом числе точек. В экономических задачах число точек может быть равным сотням и тысячам. Использование многочленов очень высокого порядка представляет затруднение даже при использовании современных вычислительных устройств. Поэтому при решении экономических задач используют методы аппроксимации.

Аппроксимацией называется нахождение функции заданного вида, обеспечивающей наилучшее приближение к опытным данным.

В методе наименьших квадратов (МНК) качество приближения оценивается по сумме квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от опытных данных i = 1, 2, … (рис. 51), т. е.

.

Рис. 51

Функция, по которой оценивается качество аппроксимации, называется критерием качества.

Аппроксимирующую функцию выбирают в зависимости от характера расположения точек опытных данных. Эта функция обычно имеет несколько неизвестных параметров . Для нахождения этих параметров составляют критерий качества аппроксимации.

В методе наименьших квадратов критерий качества примет вид

.

Для нахождения неизвестных параметров a, b, c, …, обеспечивающих минимальное значение критерию качества, используют необходимый признак экстремума функции нескольких переменных. Согласно данному признаку в точках экстремума функции нескольких переменных все частные производные либо равны нулю, либо не существуют. Функция данного вида является дифференцируемой, поэтому при оптимальных значениях параметров a, b, c, … все частные производные критерия качества должны равняться нулю, т. е.

В качестве аппроксимирующих функций часто используют функции следующего вида: 1) ; 2) ; 3) .

Составим системы уравнений для нахождения параметров аппроксимирующих функций.

1. В случае, когда критерий качества имеет вид

.

Найдем частные производные этой функции, получим систему для нахождения a, b.

Û

2. В случае, когда критерий качества имеет вид

.

Найдем частные производные этой функции, получим систему для нахождения коэффициентов a, b, с.

Û

3. В случае, когда аппроксимирующая функция имеет вид , необходимо сначала прологарифмировать эту функцию . Тогда критерий качества

.

Система для нахождения ln a и ln b имеет вид

Û

После того, как будут найдены логарифмы ln a и ln b нужно найти a и b.

Пример 3.26. Заапроксимировать опытные данные

 

-2 -1      
         

многочленом второй степени . На рисунке изобразить опытные данные («жирными точками») и график аппроксимирующей функции. Вычислить значение критерия качества.

Вычисления коэффициентов системы для нахождения коэффициентов a, b, c приведены в таблице.

 

i
  -2     -8   -10   5,06 0,06 0,0036
  -1     -1   -3   2,57 -0,43 0,1849
                1,94 0,94 0,8836
                3,17 -0,83 0,6889
                6,86 0,86 0,7396
S                   2,5006

 

Составляем систему для нахождения коэффициентов a, b, c и решаем ее.

Аппроксимирующая функция .


Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 78 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Функции двух переменных| Постановка задачи

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)