Читайте также:
|
Теорема (Евклид). Простых чисел бесконечно много.
Доказательство. От противного. Ну пусть р 1 , р 2 ,..., р n - все простые, какие только есть. Рассмотрим число а = р 1 р 2 ... р n + 1. Его наименьший отличный от 1 делитель с, будучи простым, не может совпадать ни с одним из р 1 , р 2 ,..., р n , так как иначе с | 1. Не перестаю удивляться изобретательности ума людей тысячелетней древности!
Ё
Для составления таблицы простых чисел древний грек Эратосфен придумал процедуру, которая получила название "решето Эратосфена":
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,...
Идем по натуральному ряду слева направо. Подчеркиваем первое неподчеркнутое и невычеркнутое число, а из дальнейшего ряда вычеркиваем кратные только что подчеркнутому. И так много раз. Легко понять, что подчеркнутые числа - простые. Если вспомнить наблюдение 2, то становится понятно, что когда вычеркнуты все кратные простых, меньших р, то оставшиеся невычеркнутые, меньшие р 2 -простые. Это значит, что составление таблицы всех простых чисел меньших N закончено сразу, как только вычеркнуты все кратные простых, меньших Ц a.
Для чисел, растущих закономерно, например для квадратов или степеней двойки, было бы, конечно, нелепо разыскивать экземпляр, превосходящий все известные. Для простых же чисел, напротив, прилагаются громадные усилия, чтобы именно это и сделать. Чудаки люди! Например, в 1876 году француз Люка доказал, что число 2 127 - простое, и 75 лет оно оставалось наибольшим из известных простых чисел, что не покажется удивительным, если на него взглянуть:
2 127 -1 = 170141183460469231731687303715884105727.
В настоящее время составлены таблицы всех простых чисел, не превосходящих 50 миллионов, далее известны только отдельные их представители. Читателей всегда привлекает гигантизм, поэтому укажу здесь два самых больших известных на сегодняшний момент простых числа: 2 44497 - 1 и 2 86243 - 1. Последнее число записано пока в книгу рекордов Гиннеса, в нем 25962 десятичных знака. Найдено оно было, конечно, в рекламных целях - демонстрация фирмой IBM возможностей очередного суперкомпьютера, которому для проверки этого числа на простоту с помощью специальных изощренных тестов (пригодных только для чисел вида 2 n- 1) потребовалась неделя работы и куча денег. И это трата денег происходит в то время, когда у нас в России более трети населения живет за чертой бедности, а половина детей в Уганде не умеют ни читать, ни писать, а только сидят и гундят!
Самой важной и общеизвестной в этом пункте является следующая теорема (искушенные алгебраисты скажут, что она утверждает факториальность кольца Z, а я воздержусь от каких-либо комментариев в адрес этой теоремы, ибо про столь важную персону математического мира надо либо долго говорить, либо почтенно молчать). Эта теорема носит название "Основной теоремы арифметики".
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 43 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Определение 1. Если существует предел | | | Теорема. Всякое целое число, отличное от - 1, 0 и 1, единственным образом (с точностью до порядка сомножителей) разложимо в произведение простых чисел. |