Читайте также: |
|
Теорема 4.1. Пусть Рассмотрим функцию имеет место равенство
Доказательство. Функция существует, так как . Имеем
, где точка ; если , а , по непрерывности. Теорема доказана.
Таким образом, для непрерывной функции - первообразная для .
Теорема 4.2. Пусть - любая первообразная для на . Тогда
если .
Доказательство. В условиях теоремы, для некоторой константы , где
определена как в предыдущей теореме. Имеем, далее,
Теорема доказана.
Эта теорема позволяет вычислять определённые интегралы через значения первообразных (и тем самым в некотором смысле оправдывает введение понятия первообразной). Можно слегка обобщить её.
Теорема 4.3. Пусть , исключая конечное число точек внутри отрезка.
Тогда , где функция в точках разрыва определена произвольно, а между ними – как первообразная для на соответствующем промежутке.
Ни уточнять, ни доказывать мы её не будем.
Теорема 4.4. (Вторая теорема о среднем). Пусть функция , а на
монотонна. Тогда , такая, что .
Лемма 4.3.1. (Формулы Бонне).Если на функция не возрастает и неотрицательна, а , то , для которой
.
Аналогично, если на и не убывает, а , то такая, что
. , где .
Доказательство. Докажем первую часть. Разобьём отрезок на более мелкие точками .Имеем:
Вторая сумма будет стремиться к 0 при мелкости разбиения стремящейся к 0, потому что второй сомножитель под интегралом ограничен,а первый – это колебание функции на , и сумма будет стремиться к нулю, так как .
Значит, первая сумма будет стремиться к интегралу. Положим . Имеем:
.
Функция , следовательно, поскольку все разности неотрицательны, , и , где . В силу непрерывности , , , что даёт первую из формул. Вторая доказывается аналогично.
Доказательство теоремы. Пусть монотонно убывает. В первой формуле Бонне возьмём вместо разность . После преобразований (формальных и не связанных с новыми идеями) получим утверждение теоремы.
Примечание. Эта теорема в лекционном курсе не доказывалась.
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 75 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Классы интегрируемых функций | | | Несобственные интегралы. Введение. |