Признаки сходимости

6.1. Интегралы от знакопостоянных функций.

Мы будем предполагать, что .Случай с неположительной функцией исследуется аналогично. Заметим также, что будет монотонно возрастающей функцией.

Теорема 6.1.1. Если ограничена сверху, интеграл сходится.

Доказательство. Монотонно возрастающая ограниченная функция имеет предел.

Теорема 6.1.2. Если, начиная с некоторого , , то из сходимости

следует сходимость , а из расходимости - расходимость

.

Доказательство следует из того, что если интеграл сходится, то он ограничен, значит, ограничен и меньший интеграл.

Теорема 6.1.3. Если, начиная с некоторого , , то интегралы

сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Прямое следствие неравенств и предыдущей теоремы.

В задачах в качестве одной из функций часто употребляется .

Теорема 6.1.4. сходится при ; интеграл сходится при .

Доказательство. Эти интегралы берутся, достаточно рассмотреть пределы.

6.2. Интегралы от знакопеременных функций.

Имеют место следующие два признака сходимости (условной).

Теорема 6.2.1. (Признак Абеля) Рассмотрим интеграл . Если интеграл

сходится, а функция монотонна и ограничена на , то указанный интеграл сходится.

Теорема 6.2.2. (Признак Дирихле) Интеграл сходится, если , а монотонно при .

На самом деле, признак Абеля следует из признака Дирихле.

Докажем признак Дирихле. По критерию Коши, достаточно показать, что

для достаточно больших .По второй теореме о среднем,

.

Множители могут быть сделаны сколь угодно малыми, поскольку,

по условию, , а модули интегралов . Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-08-26