Поверхностные интегралы первого типа

Пусть - некоторая двусторонняя гладкая (или кусочно – гладкая) поверхность, ограниченная кусочно – гладким контуром. Пусть на этой поверхности (т.е. в каждой точке поверхности) определена функция . Разобьём поверхность с помощью сети произвольно проведённых кусочно-гладких кривых на части ,…, Выбрав в каждой части произвольным образом одну точку , вычислим в этой точке значение функции = и умножив его на площадь

,

которая называется интегральной суммой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Конечный предел этой интегральной суммы при бесконечном уплотнении разбиения поверхности , не зависящий ни от способа разбиения поверхности ни от выбора точек в пределах каждой части называется поверхностным интегралом первого типа от функции по поверхности и обозначается символом

, т.е.

.

ТЕОРЕМА. Пусть имеется незамкнутая гладкая поверхность заданная явным уравнением . Положим, что прямые, параллельные оси пересекают поверхность , не более чем в одной точке, и пусть проекция на плоскость

Тогда, какова бы не была функция , определённая в точках поверхности и ограниченная: , имеет место равенство

в предположении существования одного из этих интегралов (что влечет за собой и существование второго).

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как то формулу (*) можно записать и так: .

Доказательство теоремы. Разложим поверхность на части , ,…, с помощью сети произвольно проведённых кусочно – гладких кривых. Спроектируем линии разбиения на плоскость и получим соответствующее расположение области : . Между построенными разложениями областей имеется то соответствие, что если к нулю стремятся диаметры частей , то к нулю стремятся диаметры частей и наоборот. Выберем в каждой части точку и составим интегральную сумму

= По определению = .

В силу общей формулы для площади поверхности

=

Обозначим , то есть = .

По теореме о среднем, , где , [ - не произвольные, а фиксированные точки, определяемые теоремой о среднем].

В результате получим . Интегральная сумма отличается от интегральной суммы для интеграла :

тем, что в значения произвольно в пределах , а в значения аргумента функции фиксировано теоремой о среднем.

Рассмотрим . Пусть – произвольно малое число. В силу равномерной непрерывности функции при достаточно малых диаметрах областей будет

. Отсюда следует, что , то есть

. Так что .

Это значит, что из существования одного предела следует существование другого и обратно. По определению это означает, что

, что и т. д.

ЗАМЕЧАНИЕ В частности двойной интеграл

существует в предложении непрерывности . Напомним, что непрерывность функций , , предполагалось при определении поверхности (только тогда эта функция обозначалась как ).

ЗАМЕЧАНИЕ Если или близок к нулю, или по каким-либо другим причинам, поверхностный интеграл первого типа можно с равным успехом выразить через проекции на другие координатные плоскости.

Именно, если , то .

Или если , то .

СЛЕДСТВИЕ 1. Если , то для любой непрерывной ограниченной функции будет справедливо равенство .

Если , то

.

Если , то , поэтому эти равенства справедливы и в этом случае.

Доказательство. В основной формуле

возьмём .

СЛЕДСТВИЕ 2. Если , то для любой непрерывной ограниченной функции будет справедливо равенство

Если , то

.

СЛЕДСТВИЕ 3. Если то для любой непрерывной ограниченной функции будет справедливо равенство

.

Если , то

.

ЗАМЕЧАНИЕ. В задачах математической физики часто возникает необходимость выразить поверхностный интеграл первого типа

взятый по поверхности сферы радиуса в сферических координатах. Выведем соответствующую формулу. Рассмотрим отдельно верхнюю и нижнюю часть сферы. Они выражаются явной формулой:

Пусть

По формуле

, .

На плоскости введем координаты:

,

,

(т.е. точка на плоскости рассматриваемая как проекция точки на сфере), и произведем замену переменных интегрирования.

Якобиан перехода

Кроме того

Для верхней половины

.

Для нижней половины с учетом того, что якобиан берется по абсолютной величине

Складывая, получаем требуемую формулу:

Дата добавления: 2015-08-17