Определение направляющих косинусов нормами

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методическое пособие

Нижний Новгород 2011

Составители: С.Н. Алексеенко

УДК 517

Поверхностные интегралы. Методическое пособие / С. Н. Алексеенко НГТУ, Н.Новгород, 2011 - 30с.

Методическое пособие содержит изложение лекционного материала по разделу «Поверхностные интегралы». Приведены задачи на вычисление поверхностных интегралов первого и второго типов, предназначенные для выполнения индивидуальных типовых расчётов.

Подписано в печать. Формат 60х84 1/16. Бумага газетная.

Печать офсетная. Усл. п. л.. Уч.-изд. л.. Тираж 500 экз. Заказ.

Нижегородский государственный технический университет.

Типография НГТУ.603950, Нижний Новгород, ул.Минина, 24. © Нижегородский государственный

технический университет

им. Р.Е. Алексеева, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

Тема «Поверхностные интегралы»представляет собой один из наиболее сложных разделов, изучаемых в рамках курса «Математический анализ». Причем эта сложность проистекает из двух разных причин. Во-первых, сами поверхностные интегралы являются довольно сложными математическими понятиями, для хорошего усвоения которых требуется немало времени. И вторая причина сложности изучения темы «Поверхностные интегралы» состоит в том, что выделить достаточное количество времени для её подробного изучения в рамках лекционного курса никогда не удаётся.

Проблема нехватки времени наложила свой отпечаток на изложение материала во всех известных учебниках, исключая «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца в трех томах. Во всех учебниках разделы, входящие в первую половину курса «Математический анализ», такие как «Пределы», «Производная» «Неопределенный и определенный интеграл», «Ряды» и т.п., изложены методически примерно одинаково и, в общем, отличаются лишь второстепенными деталями. Но тема «Поверхностные интегралы» в разных учебниках излагается по-разному. Причем изложение материала отличается не только полнотой, но, вообще, последовательностью введения основных понятий и их взаимозависимостью друг от друга. В связи с этим студентам бывает довольно трудно найти подходящий учебник.

В предлагаемом методическом пособии весь учебный материал по поверхностным интегралам изложен последовательно и с достаточной полнотой, чтобы им можно было уверенно пользоваться. В принципиальном плане изложение материала соответствует «Курсу дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца. Однако, за счет того, что материал дан не в такой общности, как в вышеупомянутой книге, его объём удалось значительно сократить, а доказательства упростить. Причем материал расположен так, чтобы доказательства были не слишком длинными. В тоже время, как уже отмечалось, изложение материала достаточно полное, чтобы можно было осознанно пользоваться поверхностными интегралами, по крайней мере, во всех разделах физики и механики, где они применяются в рамках учебного процесса в университете. Более того, чтобы сделать материал внутренне полным и понятным, в данное учебное пособие включен ряд параграфов, обычно изучаемых в предыдущих разделах курса математического анализа. К ним относятся: «Определение компонент вектора, направленного по касательной», «Определение направляющих косинусов нормали» и «Формула Грина».

Весь материал рассчитан на изложение в пределах 4-х лекций. Кроме этого здесь приведено по 16 задач на вычисление поверхностных интегралов первого и второго типов, предназначенных для выполнения индивидуальных типовых расчётов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА, НАПРАВЛЕННОГО ПО КАСАТЕЛЬНОЙ.

Рассмотрим в трёхмерном пространстве с декартовой системой координат некоторую кривую , заданную параметрическими уравнениями

, , , . (1)

Выясним, как имея уравнения (1), определить компоненты вектора касательной к кривой. По своему определению, касательная – это предельное положение секущей.

Пусть - переменный вектор, начало которого закреплено в начале координат, а конец скользит по линии , т.е. , где , , - единичные орты. С учетом уравнений (1) имеем: .

Возьмём приращение параметра , тогда

.

Вектор представляет собой секущую кривой . Рассмотрим отношение . Это есть вектор, коллинеарный с вектором , так как получается из него умножением на скалярный множитель . Мы можем записать этот вектор так:

Если функции , и дифференцируемы, то:

.

Вектор, определяемый последним равенством, называется производной от вектора по скалярному аргументу . Производную обозначают символом . Таким образом .

Выясним направление вектора .

Так как при , точка приближается к точке , то направление секущей в пределе даёт направление касательной. Следовательно, вектор производной направлен по касательной к кривой в точке . Компоненты вектора , направленные по касательной, равны:

, а его длина определяется формулой:

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРАВЛЯЮЩИХ КОСИНУСОВ НОРМАМИ

Пусть имеется поверхность, уравнение которой имеет вид , - произвольная точка на заданной поверхности.

Пересечём заданную поверхность плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно координатной плоскости .

Уравнение такой плоскости имеет вид . Пересечение поверхности с плоскостью даёт некоторую кривую , параметрические уравнения которой имеют вид: , , (здесь - параметр).

Вектор, касательный к линии , будет иметь вид .

В точке : .

Также пересечём поверхность плоскостью , через точку параллельно плоскости . Пересечение поверхности с плоскостью даёт некоторую кривую , параметрические уравнения которой имеют вид , , (Здесь - параметр).

Вектор, касательный к линии , будет иметь вид .

В точке : .

Вектор будет направлен по нормали в точке .

, ; .

Искомый единичный вектор нормали, компоненты которого равны направляющим косинусам, будет иметь вид:

; .

;

;

.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если взять , то поменяет направление, а следовательно перед радикалами поменяются знаки. Т. е. в общем виде надо перед радикалами ставить «±».

Дата добавления: 2015-08-17