Площадь поверхности

Предварительно рассмотрим искажение площади при проектировании плоских областей.

Пусть плоскости и образуют между собой двугранный угол , т. е. - это угол между двумя нормалями, проведёнными в каждой из плоскостей к общей точке на линии пересечения и .

Обозначим линию пересечения через .

Пусть на плоскости задана прямоугольная область , у которой одна сторона параллельна линии , а другая перпендикулярна . Спроектируем область на плоскость . На плоскости образуется прямоугольная область , у которой тоже одна сторона будет параллельна , а другая перпендикулярна . Обозначим сторону параллельную через , а сторону перпендикулярную через . Для соответствующих сторон , которые мы обозначим через , , будем иметь , . А тогда , , или .

Пусть теперь на плоскости задана криволинейная область . Спроектируем её на плоскость . Обозначим проекцию через . Разобьем область прямыми линиями, параллельными и перпендикулярными линии , на некоторое число подобластей. При достаточно мелком разбиении большинство из подобластей будут представлять собой прямоугольники.

Тогда площадь будет приблизительно равна сумме площадей прямоугольников, целиком принадлежащих :

.

Спроектировав линии разбиения на плоскость , разобьём область на соответствующее число подобластей, из которых будет прямтугольников.

.

Причем , откуда следует .

При всё более мелком разбиении области на прямоугольники, получим

.

Соответственно . Так как для каждой из подобластей справедливо равенство , где не зависит от , то приходим к :

.

Выведем это соотношение ещё раз через преобразование интегралов.

Пусть на плоскости задана декартовая система координат, у которой одна ось совпадает с линией пересечения плоскостей и , а другая перпендикулярна ей. Пусть это оси и . Тогда . Спроектируем оси изменения и на плоскость . Обозначим проекции и . Введём на осях те же единицы длины, что и на осях и .

Длина любого отрезка на оси при этом совпадает с длиной любого отрезка на оси . Следовательно, при таком проектировании для координаты любой точки на и соответствующей ей при проектировании координате точки на будем иметь .

В то же время, для координаты любой точки на и соответствующей ей при проектировании координате точки на будет выполняться соотношение . Это означает, что при таком проектировании происходит преобразование координат , .

Имеем .

Подсчитаем , отсюда получим

.

Таким образом, при проектировании площадь плоской фигуры умножается на косинус угла между той плоскостью, с которой проектируется и той, на которую проектируется.

Определим теперь для произвольной поверхности понятие площади. Ограничимся случаем, когда уравнение поверхности имеет вид .

Положим, что цилиндр проектирует заданную поверхность на плоскость в виде области . Разобьём площадь на малые элементы . Цилиндры, построенные на основаниях , разобьют на элементы .

Возьмем в каждом из элементов по точке , которой соответствует на поверхности точка , где .

Проведем в точке касательную плоскость и нормаль к поверхности, и обозначим через плоскую площадку, вырезаемую на этой касательной плоскости цилиндром с основанием .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Площадью поверхности назовем предел суммы площадей плоских площадок при бесконечном уплотнении разбиения области , т.е. когда число элементов бесконечно растет, а каждый из них бесконечно уменьшается по всем направлениям.

В дальнейшем переход к пределу при бесконечном уплотнении разбиения некоторой области (Q) будем обозначать символом D(Q) 0.

Покажем, что когда и являются непрерывными функциями, то этот предел существует и выражается двойным интегралом по области .

Элементы есть проекция плоского элемента на плоскость , причем нормали к плоскостям, в которых лежат эти две плоские площадки и составляют угол . Следовательно, угол между самими плоскостями тоже равен .

Следовательно ,отсюда следует . Берем нормаль в ту сторону, чтобы . То есть если , то .

Таким образом, для площади , рассматриваемой поверхности , мы имеем по определению:

.

В случае непрерывных и предел, стоящий в правой части равенства, существует и представляет собой двойной интеграл по области .

Получим .

Этим доказано существование площади и установлено её выражение.

Можно написать формулы для площади и так:

, считая угол острым.

Или , если не требовать, чтобы угол был острым.

Нужно брать абсолютное значение , т.к. площадь считается величиной положительной.

Выражение называется элементом площади поверхности.

Если на заданной поверхности в заданной системе координат есть такие участки, где , то для определения площади таких участков надо или проектировать их на другие координатные плоскости, или изменять систему координат.

Скажем, есть участок поверхности, где и где уравнение поверхности можно записать в виде , то площадь такого участка можно определить через его проекцию на координатную плоскость . Тогда .

Дата добавления: 2015-08-17