Читайте также:
|
Пусть αх, βх- бмф в точке х= а, функции, заданные для одних и тех же значений аргумента, тогда если:
Свойства:
Если αх и βх – бм функции в точке х = А, то функция αх=βх имеет более высокий понядок малости, чем каждый из сомножителей.
Lim αхβх\αх = 0 b lim αхβх\βх = 0 (x->a), т.е αхβх=0(αх) и αхβх=0(βх), если αх~ α1х в точке х=а, βх~ β1х в точке х=а и существует lim αх\βх, то существует lim α1х\β1х (x->a)
Справедлива формула im αх\βх = lim α1х\β1х (x->a).
44. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
ТЕОР: Если функции u=U(x), v=V(x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы: (u±v)’=u’±v’; (u·v)’=u’·v+v’·u; (u\v)’=(u’v-uv’)\v^2.
Док-во: Воспользуемся определением производной, равенством f(x+DX)=f(x)+ DY и теоремой о пределах суммы, разности, произведения и частного.
(u±v)’=lim ([u(x+DX) ± v(x+DX)] – [u(x) ± v(x)])\ DX = lim (u(x+DX) –u(x) ± v(x+DX) – v(x))\ DX =
= lim(u(x+DX) –u(x) ± lim v(x+DX) – v(x))\ DX = lim ((Du /DX) ± lim (Dv /DX) = u’ ± v’ (DX->0)
(u·v)’= lim (u(x+DX) ·v(x+DX) – u(x) ·v(x))\ DX = lim((u(x)+ Du) · (v(x)+Dv) - u(x) ·v(x))\ DX =
lim (u(x) ·v(x) + Du ·v(x) + Dv ·u(x) + Du ·Dv - u(x) ·v(x))\ DX =lim ([v(x) ·(Du /DX) +u(x) ·(Dv /DX) +Dv·(Du/DX)] = v ·lim (Du /DX) + u ·lim (Dv /DX) + lim Dv · lim (Du/DX) = v · u’ + u · v’ + 0 · u’ = u’ · v+ u · v’ (DX->0)
(u / v)’=lim [u(x) + Du] / [v(x)+Dv] – [u(x) / v(x)]\ DX =lim (u(x+DX) · v(x) – u(x) · v(x+DX)) \DX· v(x+DX) · v(x) =lim ([u(x)+ Du] ·v(x) – u(x) ·[v(x)+Dv]) \DX· v(x+DX) · v(x) = lim (u · v + Du · v – u · v – u · Dv)\ DX·[v + Dv] · v =lim v ·(Du /DX)\ v · v + v ·Dv - (u ·(Du /DX))\v^2 (DX->0)
Так как lim Dv =0 (в силу дифференцируемости, а Þ и непрерывности v(x)), а множители u и v не зависят от Dv.
45. Производные элементарных функций.
ТЕОР: Производная функции f(x)=C выражается формулой Y’=0.
Док-во: Для "х и DX имеем: Df = f (х +DX) – f(x) = C – C = 0. Отсюда Df /DХ = 0/DХ = 0 при "DХ¹0. Þ Y’= lim Df /DX = 0.
ТЕОР: Производная функции Y=X^n, где n - целое число, выражается формулой Y’=n ·X^(n-1).
Док-во: Используя формулу бинома Ньютона, имеем
DY= (X+DX)^n – x^n=(Х^n+n · X^(n-1)· DX +((n(n – 2))/2!) · X^(n-2)·(DX)^2+K ·(DX)^n) – X^n= n ·X^(n-1)· DX +… +((n(n – 1))/2!) · X^(n-2)·(DX) ^2+K·(DX) ^n. Т. о., при DХ¹0
DY/DX = n · X^(n-1)+((n(n – 2))/2!) · X^(n-2)·(DX) + K· (DX) ^(n-1). Так как lim DX=0, lim (DX) ^(n-1)=0, то Y’= lim DY/DX = n · X^(n-1).
ТЕОР: Производная функции Y=sin X выражается формулой Y’=cos X.
Док-во: Имеем DY= sin(X+DX) – sinX = 2sin(DX/2) · cos(X+DX/2). Т. о., при DХ¹0
DY/DX = (2sin(DX/2) · cos(X+DX/2))\ DX = (sin(DX/2) · cos(X+DX/2))\ DX/2.
Так как lim (sin(DX/2))\ 
DX/2=1, а lim cos(X+DX/2) = cos X, то Y’= lim DY/DX =cos X.
ТЕОР: Производная функции Y=cos X выражается формулой Y’= -sin X.
Док-во: Имеем DY= cos(X+DX) – cos X = -2sin(DX/2) · sin(X+DX/2). Т. о., при DХ¹0
DY/DX =(-2sin(DX/2) · sin(X+DX/2))\ DX = (- sin(DX/2) · sin(X+DX/2))\ DX/2.
Так как lim (sin(DX/2))\ DX/2 =1, а lim -sin(X+DX/2) = -sin X, то Y’= lim DY/DX =-sin X.
ТЕОР: Производная функции Y=tg X выражается формулой Y’=1/cos^2 X (X¹p/2+pn, nÎZ).
Док-во: Y’=(tg X)’=(sin X/cos X)’=((sinX)’ ·cosX – sinX· (cosX)’)\ Cos^2X =(cos^2X + sin^2X)\ Cos^2X = 1\ cos^2x => (tgx)’=1\cos^2x, x≠π\2+nπ,n=0,±1.±2,…
ТЕОР: Производная функции Y=ctg X выражается формулой Y’= -1/sin 
X (X¹pn, nÎZ).
Док-во: Y’=(ctg X)’=(cos X/sin X)’=((cosX)’ ·sinX –cosX· (sinX)’) =(-(sin^2X + cos^2X))\sin^2X =-1\ sin^2X, x≠ nπ,n=0,±1.±2,…
ТЕОР: Производная функции Y=loga X (0<a¹1) выражается формулой Y’=(1/X)·log 
e=1/(x·ln a).
Док-во: Имеем DY=loga(X+DX) - logaX = loga((X+DX)/X) = loga(1+DX/X). Т. о., при DХ¹0
DY/DX = (1/DX) · loga(1+DX/X) = (1/X) · (Х/DX) · loga(1+DX/X) = (1/X) · loga(1+DX/X)^(x/DX).
Полагая Х/DX=h, имеем: lim (1+DX/X) ^(x/DX) = lim (1+1/h)^h=e. Так как логарифмическая функция является непрерывной, то Y’=lim DY/DX =(1/X) · loga[lim(1+DX/X) ^(x/DX)]= (1/X) · logae = 1/(X·ln a).
СЛЕД: Если Y=logeX =ln X, то Y’=(1/X).
46. Теорема о производной обратной функции.
ТЕОР: Если функция Y=f(x) имеет в точке X0 производную f ’(X0) ¹0, то обратная функция X= j(y) также имеет в соответствующей точке Y0 = f(X0) производную, причем j’(Y0) = 1/ f ’(X0).
Док-во: Дадим аргументу Y обратной функции X= j(y) некоторое приращение DY¹0. Функция X=j(y) получит некоторое приращение DX, причем в силу возрастания (или убывания) обратной функции DX¹0. Þ DX /DY=1/(DY/DХ) Перейдем в этом равенстве к пределу при DY®0. Так как обратная функция X= j(y) непрерывна в точке Y, то DX®0 при DY®0. Но при DX®0 предел правой части равенства существует и равен 1/f ’(X0). Þ Существует предел и левой части, который по определению равен j’(Y0). Т. о. получаем j’(Y0) = 1/ f ’(X0).
47. Производные обратных функций.
ТЕОР1: Производная функции Y=a^x (0<a¹1) выражается формулой Y’ = a^x ·ln a.
Док-во: Показательная функция Y=a^x является обратной для логарифмической функции X=logaY. Так как X’(y) = (1/y)· logae, то (по Т о производной обрат Ф) из соотношения logab=1/logaa получим Y’(x)=1/X’(Y)=Y/ logae= a^x ·ln a.
СЛЕД: Если Y=е^x, то Y’ = е^x.
ТЕОР: Производная функции Y=arcsin X выражается формулой Y’=1/(1-x^2)^1\2 (|X|<1).
Док-во: Так как функция Y=arcsin X определена на интервале –1<X<1, является обратной для функции X=sin Y, определенной в интервале -p/2<Y<p/2 и для функции X=sin Y выполнены все условия теоремы, то по этой теореме функция Y=arcsin X дифференцируема в любой точке X=sin Y и для ее производной в этой точке справедлива формула Y’=(arcsin X)’=1/(sinY)’=1/cosY=1/(1-sin^2y)^1\2. Перед корнем поставим знак “+” в силу того, что cosY положителен на интервале -p/2<Y<p/2. Учитывая, что X=sin Y, окончательно получаем (arcsin X)’=1/(1-x^2)^1\2.
ТЕОР: Производная функции Y=arccos X выражается формулой Y’= -1/(1-x^2)^1\2.
Док-во: Так как функция Y=arccos X определена на интервале –1<X<1, является обратной для функции X=cos Y, определенной в интервале 0<Y<p и для функции X=cos Y выполнены все условия теоремы, то по этой теореме функция Y=arccos X дифференцируема в любой точке X=cos Y и для ее производной в этой точке справедлива формула Y’=(arccos X)’=1/(cosY)’= -1/sinY= -1/(1-cos^2y)^1\2. Перед корнем поставим знак “ - ” в силу того, что cosY положителен на интервале 0<Y<p. Учитывая, что X=cos Y, окончательно получаем (arccos X)’= - 1/(1-x^2)^1\2.
ТЕОР: Производная функции Y=arctg X выражается формулой Y’=1/(1+x^2).
Док-во: Так как функция Y=arctg X, определена на бесконечной прямой, является обратной для функции X=tg Y определенной на интервале -p/2<Y<p/2, и для функции X=tg Y в окрестности каждой точки интервала -p/2<Y<p/2 выполнены все условия теоремы, то функция Y=arctg X по этой теореме дифференцируема в каждой точке X=tg Y и для ее производной справедлива следующая формула (arctg X)’=1/(tg Y)’=1/(1/cos^2Y)= cos^2Y=1/(1+tg^2Y)= 1/(1+x^2).
ТЕОР: Производная функции Y=arcctg X выражается формулой Y’= -1/(1+x^2).
Док-во: Так как функция Y=arcctg X, определена на бесконечной прямой, является обратной для функции Y=ctg X определенной на интервале 0<Y<p, и для функции Y=ctg X в окрестности каждой точки интервала 0<Y<p выполнены все условия теоремы, то функция Y=arcctg X по этой теореме дифференцируема в каждой точке и для ее производной справедлива следующая формула
(arcctg X)’=1/(ctg Y)’=1/(-1/sin^2Y)= -sin^2Y= -1/(1+ctg^2Y)= -1/(1+x^2).
48. Теорема о производной сложной функции.
ТЕОР: Если функция X= j(t) имеет производную в точке T0, а функция Y=f(x) имеет производную в соответствующей точке X0=j (T0), то сложная функция f[j(t)] имеет производную в точке T0 и справедлива следующая формула: Y’(T0)=f ’(X0) ·j’ (T0).
Док–во: Так как функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, то приращение этой функции в точке X0 может быть записано в виде DY=f ’(X0) ·DX+a(DX)·DX, где lim a(DX)=0. Поделив это равенство на DT (DT¹0), получим DX/DY=f ’(X0) ·DX/DT+a(DX) ·DX/DT. Это равенство справедливо для любых достаточно малых. Возьмем DX равным приращению функции X= j(t), соответствующему приращению DT аргумента t в точке T0, и устремим в этом равенстве DT к 0. Так как по условию X= j(t) имеем в точке T0 производную, то она непрерывна в этой точке. Þ По определению непрерывности функции в точке, DX®0 при DT®0. Но тогда a(DX) ®0, т. е. имеем
lim(a(DX) ·DX/DT)=lim a(DX) ·lim(DX/DT)=0·j’ (T0)=0. В силу этого соотношения существует предел правой части равенства DX/DY=f ’(X0) ·DX/DT+a(DX) ·DX/DT при DT®0, равный f ’(X0) ·j’ (T0). Þ Существует предел при DT®0 и левой части этого равенства, который по определению производной равен производной сложной функции Y=f[j(t)] в точке T0. Т. о., дифференцируемость сложной функции доказана и установлена формула Y’(T0)=f ’(X0) ·j’ (T0).
ЗАМ: теорема справедлива для суперпозиции 3 и более функций.
49. Прием логарифмического дифференцирования. Производная функции Y=x^a, aÎR.
Пусть Y=f(x), где X= j(u), U=f(v), V=c(t). Производную Y’(t) следует вычислять по формуле: Y’(t)= f ’(x) ·j’(u) ·f’(v) ·c’(t).
ТЕОР: Производная функции Y=x^a, где aÎR выражается формулой Y’= a·x^(a-1).
Док-во: Так как Y=x^a, то ln Y=a·ln x. Дифференцируя обе части этого равенства по х и используя теорему имеем, Y’/Y=(a·ln x)= a/x. Отсюда, учитывая, что Y=x^a, получаем Y’=(x^a)’= a·x ^(a-1).
50. Производные высших порядков.
Если производная функции Y=f(x) существует для "xÎX, то можно говорить о существовании производной функции Y’.
Производная от производной I порядка функции Y=f(x) – производная II порядка Y’’=f ’’(x).
Производная от производной II порядка функции Y=f(x) – производная III порядка
Y’’’=f ’’’(x).
Производная n –го порядка функции Y=f(x) – производная от производной n–1 – го порядка Y^n=(f ^(n-1)(x))’.
51. Дифференциалы высших порядков.
Дифференциал d, взятый от дифференциала dy в точке x в предположении, что dx = dx – дифференциал II порядка функции Y=f(x) в точке x и обозначается d^2y = f ’’(x)·(dx) ^2.
Дифференциал n-го порядка – дифференциал d, взятый от дифференциала n – 1 -го порядка в предположении, что dx = dx и обозначается (d^n)y=f^n (x)(dx) ^n.
52. Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания, убывания функции в точке.
Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) в точке C, если найдется такая окрестность точки C, в пределах которой f(x)>f(c) при x>c и f(x)<f(c) при x<c (f(x)<f(c) при x>c и f(x)>f(c) при x<c).
Если функция f(x) дифференцируема в точке C и f ’(c)>0 (f ’(c)<0), то эта функция возрастает (убывает) в точке C.
Док-во: Докажем для f ’(c)>0. Так как f ’(c) = lim(f(x) – f(c))/(x – c), то по определению предела функции в точке, для ("e>0) ($d>0) такое, что |(f(x) – f(c))/(x – c)|< e при 0<|x – c|<d;
f ’(c) - e< (f(x) – f(c))/(x – c) < f ’(c) + e. Возьмем 0 < e< f ’(c). Тогда f ’(c) - e < 0 и (f(x) – f(c))/(x – c) < 0 при 0<|x – c|<d, а это означает, что всюду в d – окрестности точки C f(x)>f(c) при x>c и f(x)<f(c) при x<c. Возрастание функции f(x) в точке C доказано. (Случай f ’(c)<0 аналогично)
ЗАМ: Это условие является достаточным для возрастания в точке, но не является необходимым.
53. Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
Точка X0 – называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех x из некоторой d окрестности точки X0 выполняется неравенство f(x)<f(X0) (f(x)>f(X0)).
Функция f(x) имеет в точке X0 локальный экстремум, если она имеет в этой точке либо локальный максимум, либо локальный минимум.
Функция f(x) имеет в точке С локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки С, в пределах которой значение f(C) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции.
ТЕОР: Если функция f(x) имеет в точке X0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f(X0)=0.
Док-во: Пусть функция f(x) в точке X0 имеет наибольшее значение, т. е. f(x) £f(X0) для "хÎ(a, b). Это значит, что DY =f(X0+DX) – f(X0) £ 0 для " точки X0+DX Î(a, b). Поэтому, если DX>0 (т. е. x>X0), то DY/DХ£0 и Þ lim DY/DХ£0, т. е. f +’(X0)£0, если же DX<0 (т. е. x<X0), DY/DХ ³0 и Þ lim DY/DХ ³0, т. е. f _’(X0)£0. Получили, что правая производная в точке X0 неположительная, а левая – неотрицательная. По условию f ’(X0), существует и значит, f +’(X0) = f _’(X0) = f ’(X0). Это возможно только в случае, когда f +’(X0) = f _’(X0) = 0. Но тогда f ’(X0) = 0. (Для наименьшего значения аналогично)
Геометрический смысл теоремы Ферма: Если функция f(x) имеет в точке X0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, т. е. существует касательная к графику функции в точке (X0; а(X0)), то эта касательная параллельна оси ОХ.
ЗАМ: теорема не верна, если функцию рассматривать на отрезке.
ТЕОР: Пусть функция f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С за исключением, может быть самой точки С. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ’(x) >0 слева от точки С и f ’(x)< 0 справа от точки С, то функция f(x) имеет в точке С локальный максимум. Если f ’(x)< 0 слева от точки С и f ’(x) >0 справа от точки С, то функция имеет в точке С локальный минимум. Если f ’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в точке С нет.
54. Теорема Ролля.
ТЕОР: Пусть на [a, b] определена функция f(x), причем:
1) f(x) непрерывна на [a, b];
2) f(x) дифференцируема на (a, b);
3) f(a) = f(b).
Тогда существует точка CÎ(a, b), в которой f ’(c) =0.
Док-во: Так как функция f(x) непрерывна на [a, b], то она достигает на этом отрезке максимальное значение M и минимальное значение m, т. е. существуют такие точки X1, X2Î[a, b], что f(X1) = m, f(X2)=M, и выполняется неравенство m£ f(x)£ M.
Возможны 2 случая: 1) m=M; 2) m<M.
В первом случае f(x) = const = m = M. Поэтому производная f ’(x) = 0 в любой точке [a, b], и теорема доказана.
Во втором случае так как f(a) = f(b), то хотя бы одно из двух значений M и m, не принимается на концах отрезка [a, b], т. е. существует точка CÎ(a, b), в которой функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение на интервале (a, b). В этом случае, так как f(x) дифференцируема в точке C, то (по Т Ферма) f ’(x) =0.
Геометрический смысл: Между двумя точками кривой, заданной уравнением (где функция f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема внутри этого отрезка), с равными ординатами всегда найдется, по крайней мере, одна точка, в которой касательная к кривой параллельна оси ОХ.
55. Теорема Лагранжа.
ТЕОР: Пусть на [a, b] определена функция f(x), причем:
1) f(x) непрерывна на [a, b];
2) f(x) дифференцируема на (a, b).
Тогда существует точка CÎ(a, b) такая, что справедлива формула (f(b) – f(a))/(b – a) = f ’(c).
Док-во: Введем в рассмотрение вспомогательную функцию на [a, b].
F(x) = f(x) – f(a) – (f(b) – f(a))· (x – a).
(b – a)
Функция F(x) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля:
1) F(x) непрерывна на [a, b] (как разность непрерывных функций f(x) и линейной функции
f(a) + (f(b) – f(a))· (x – a));
(b – a)
2) F(x) дифференцируема на (a, b), т. е. внутри [a, b] имеет производную, равную
F’(x) =(f ’(x) - f(b) – f(a))\ 
(b – a);
3) F(a) =0 и F(b) =0, т. е. F(b) = F(a).
Þ (По Т Р) Существует точка CÎ(a, b) такая, что F’(c) =0, т. е. f ’(x) - (f(b) – f(a)) \ 
(b – a) =0.
Отсюда получаем
f ’(c) = (f(b) – f(a)) \ 
(b – a) – формула конечных приращений
Геометрический смысл: На кривой, являющейся графиком функции Y=f(x), удовлетворяющей условиям теоремы Лагранжа, существует точка (по крайней мере, одна), в которой касательная параллельна хорде АВ.
56. Теорема Коши.
ТЕОР: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, g’(x) ¹ 0. Тогда существует точка CÎ(a, b) такая, что справедлива формула
f(b) – f(a) = f ’(c).
g(b) – g(a) g’(c)
Док-во: Докажем сначала, что g(b) – g(a) ¹ 0, т. е., что формула имеет смысл. Действительно, если допустить, что g(b)= g(a), то(по Т.Р) для функции g(x) $ точка xÎ(a, b), в которой g’(x)=0. А это противоречит условию, что g’(x) ¹ 0 на (a, b).
Докажем формулу. Рассмотрим на [a, b] вспомогательную функцию
F(x) = f(x) – f(a) – ((f(b) – f(a))\ (g(b) – g(a)) ·[(g(x) – g(a)].
Нетрудно заметить, что на удовлетворяет условиям теоремы Ролля:
1) F(x) непрерывна на [a, b];
2) дифференцируема на (a, b), кроме того, F(b) = 0 и F(a) = 0, т. е. F(a) = F(b) Þ (по Т Р) для функции F(x) $ точка C, a<C<b, такая, что F’(c) = 0.
Так как F’(x) = f ’(x) –((f(b) – f(a))\ (g(b) – g(a)) · g ’(x),то F’(c) = f ’(c) – ((f(b) – f(a))\(g(b) – g(a)) · g ’(c). 
Учитывая, что g’(x) ¹ 0, получаем формулу (f(b) – f(a))\(g(b) – g(a)) = f ’(c) \ g’(c)
57. Условие монотонности функции на интервале.
Говорят, что функция f(x) не убывающая на промежутке (a, b), если для "X1, X2Î(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1) £f(X2).
Говорят, что функция f(x) не возрастающая на промежутке (a, b), если для "X1, X2Î(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1) ³f(X2).
Говорят, что функция f(x) возрастающая на промежутке (a, b), если для "X1, X2Î(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1)<f(X2).
Говорят, что функция f(x) убывающая на промежутке (a, b), если для "X1, X2Î(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1)>f(X2).
ТЕОР: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на интервале (a, b), не убывала (не возрастала) необходимо и достаточно, чтобы для "xÎ(a, b) выполнялось условие f ’(x) ³0 (f ’(x) £0).
Док-во: Докажем для f ’(x) ³0. Пусть X1 и X2 две " точки Î(a, b) и X1<X2; тогда на отрезке [X1, X2] выполняются все условия теоремы Лагранжа, и Þ выполняется условие f(X2) – f(X1) = f ’(c) · (X2 - X1), где CÎ(X1, X2). По условию, f ’(C) ³0, X2 - X1>0, поэтому f(X2) – f(X1) ³0 или f(X2) ³ f(X1), т. е. функция f(x) не убывает на (a, b). (Случай f ’(x) £0 аналогично)
ТЕОР: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на интервале (a, b), убывала (возрастала) достаточно, чтобы для "xÎ(a, b) выполнялось условие f ’(x) <0 (f ’(x) >0).
Док-во: Докажем для f ’(x) >0. Пусть X1 и X2 две " точки Î(a, b) и X1<X2; тогда на отрезке [X1, X2] выполняются все условия теоремы Лагранжа, и Þ выполняется условие f(X2) – f(X1) = f ’(c) · (X2 - X1), где CÎ(X1, X2). По условию, f ’(C) >0, X2 - X1>0, поэтому f(X2) – f(X1) >0 или f(X2) > f(X1), т. е. функция f(x) не убывает на (a, b). (Случай f ’(x) <0 аналогично)
58.Формула Тейлора.
Теорема. Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть х – любое значение из этой окрестности, х ≠ а. Тогда между точками а их найдется точка ξ, такая, что справедлива следующая формула.: f(x)=f(a)+(f”(a)\1!*(x-a))+(f’’(a)\2!)*(x-a)^2+...+(f^n(a)\n!)*(x-a)^n+(f^(n+1)(ξ))\(n+1)!))*(x-a)^(n+1). (1)
Док-во: Обозначим через φ(х,а) многочлен степени n относительно х в правой части формулы (1): φ(х,а))=f(a)+(f”(a)\1!*(x-a))+(f’’(a)\2!)*(x-a)^2+...+(f^n(a)\n!)*(x-a)^n+(f^(n+1)(ξ))\(n+1)!))*(x-a)^(n+1). Он называется многочленом Тейлора степени n для функции f(x). Обозначим через C разность Rn+1(х)= f(x) - φ(х,а). Доказательство теоремы заключается в установлении формулы Rn+1(х)= (f^(n+1)(ξ) \ (n+1)!)*(x-a)^(n+1). Фиксируем любое значение х из указанной окрестности точки а. Пусть для определенности x>a. Обозначим через t переменную величину a≤t≤x и рассмотрим на отрезке [а,х ] вспомогательную функцию F(x)=F(x)- φ(х,t)-((x-t)^(n+1)* Rn+1(х))\(x-a)^(n+1) (2). Функция F(х) удовлетворяет на отрезке [а,х] всем условиям теоремы Роля:
А) из формулы (2) и условий теоремы на функцию f(x) следует, что F(t) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,x];
Б) F(a)=f(x)- φ(х,а)- Rn+1(х)= Rn+1(х)- Rn+1(х)=0, F(x)=f(x)- φ(х,x) – ((x-x)^(n+1)* Rn+1(х))\(x-a)^(n+1)=0, поскольку φ(х,x) = f(x). Т.о., на концах отрезка [a,x] функция F(t) принимает одинаковые значения, и в силу теоремы Роля существует точка ξ (а< ξ <x), такая что F’(ξ)=0 (3). Найдем производную F»(t), для чего дифференцируем равенство (2): F’(t)=-f’(t)+f’(t)+(f’’(t)\1!)*(x-t)-(f’’(t)\1!)*(x-t)+(f’’(t)\2!)*(x-t)^2-…+(f^n(t)\n!)*n(x-t)^(n-1)-(f^(n+1)(t)\n!)*(x-t)^n+((n+1)(x-t)^n* Rn+1(х))\(x-a)^(n+1).Легко видеть, что все слогаемые в правой части этого равентва, кроме 2х последних, взаимно уничтожаются. =>, F'(t)=(f^(n+1)(t)\n!)*(x-t)^n+(((n+1)(x-t)^N)\(x-a)^(n+1))* Rn+1(х). Наконец, при t= ξ согласно условию (3) получаем выражение для Rn+1(х): Rn+1(х)= (f^(n+1)(ξ)\(n+1)!)*(x-a)^(n+1).(4) Т.Д.
Формула (1) называется формулой Тейлора, а выражение (4)
- остаточным членом в форме Лагранжа. Так как точка ξ € (а,х), ξ = a+Θ(х-а), где 0<Θ<1; тгда остаточный член можно записать в виде: Rn+1(х)=(f^(n+1)[a+ Θ(х-а)]\(n+1)!)(x-a)^(n+1), 0<Θ<1. Предроложим, что функция f^(n+1)(x) ограничена в окрестности точки а, тогда остаточный член Rn+1(х) является бмф при x->а более высокого порядка, чем (x-a)^n. Действительно в этом случае в силу теоремы о произведении бмф на ограниченную имеем: lim Rn+1(х)\(x-a)^n (x->a)=lim (f^(n+1)(ξ)\(n+1)!)(x-a) (x->a)=0, поскольку первый сомнжитель предела ограничен, а второй-бмф при х->а. т.о., остаточный член Rn+1(х) можно переписать в форме: Rn+1(х)=о[(x-a)^n] при х->а (5). Формула (5) представляет собой остаточный член в форме Пеано.
Точки, в которых производная функции Y=f(x) равна 0, называются стационарными точками. Каждая стационарная точка – точка возможного экстремума.
ТЕОР: Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой d – окрестности точки С. Тогда, если f ’(x)>0 (f ’(x)<0) для "xÎ(С - d; С) и f ’(x)<0 (f ’(x)>0) для "xÎ(С; С + d), то в точке С функция f(x) имеет локальный максимум (минимум), если же f ’(x) во всей d – окрестности точки С имеет один и тот же знак, то в точке С локального экстремума нет.
Док-во: 1) Пуcть f ’(x) при переходе через точку С меняет знак с “ + ” на “ - ” и пусть ХоÎ(С - d; С). Применим формулу Лагранжа к функции f(x) на отрезке [Хо, С]. Получаем f(С) – f(Хо) = f ’(ξ) · (С - Хо), где ξÎ(Хо, С). Так как f ’(х) >0 на (С - d; С), то f ’(ξ) >0, и, кроме того, С – Хо >0 Þ f(С) - f(Хо) >0 или f(С) >f(Хо).
2) Рассмотрим теперь случай, когда xÎ(X0; X0 + d). Применим формулу Лагранжа к функции f(x) на отрезке [С, Хо]. Получаем f(Хо) – f(С) = f ’(ξ) · (Хо - С), где ξÎ(С, Хо). Так как f ’(x)< 0 на (С; С+ d), то f ’(ξ)< 0, и, кроме того, С – Хо < 0 Þ f(Хо) - f(С) < 0 или f(С) >f(Хо). Из неравенств следует, что в рассматриваемой окрестности точки С выполняется неравенство f(С) >f(Хо) при С ¹ Хо, а это означает, что в точке С функция f(x) имеет локальный максимум. (Минимум аналогично)
3) Случай, когда знак не меняется. Пусть f ’(x) >0 в некоторой окрестности (С - d; С + d); тогда (по Т. о монотонности ф-ии) функция f(x) возрастает на (С - d; С + d), т. е. для "x< С выполняется неравенство f(С) >f(x), а для "x >С f(С)< f(x). Это означает, что точка не является точкой локального экстремума. (Можно проверить как в 1) и 2)).
Дата добавления: 2015-08-02; просмотров: 109 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Теорема о связи диффер. и существовании пр-ной. | | | Необходимое условие точки перегиба. |