Точка А – точка разрыва II рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из пределов (правого или левого) или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

27. Теорема о сумме, произведении, частном непрерывных функций.

ТЕОР: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке А. Тогда функции f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x) ¤g(x) (при g(A)¹0) также непрерывны в этой точке.

Док-во: Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке А, то lim f(x)=f(A) и lim g(x)=g(A) при х®А. Тогда пределы функций f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x)\g(x) существуют и равны f(А) ± g(А), f(А) · g(А), f(А) ¤g(А) (при g(A)¹0). Но эти величины равны значениям функций в точке А. Þ f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x) ¤g(x) непрерывны в точке А.

28. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

ТЕОР: Пусть функция f(x) задана на множестве Х непрерывна в точке Х0ÎХ и f(x)¹0. Тогда существует положительное число d такое, что для всех хÎ(Х0 - d, Х0+d)ÇХ функция имеет тот же знак, что и f(X0).

Док-во: Пусть f(X0)>0. Так как функция непрерывна, то для ("e>0) ($d>0) такое, что для ("хÎХ: |X0-x|<d) выполняется неравенство |f(x) – f(X0)|<e. Последнее неравенство в виде f(X0) - e<f(x)<f(X0)+e, оно выполняется для "хÎ(Х0 - d, Х0 + d). Возьмем e=f(X0)>0, тогда для "хÎ(Х0 - d, Х0 + d) f(x)>0.

Если f(X0)<0, то рассмотрим функцию –f(x). Тогда –f(X0)>0 и существует d - окрестность точки Х0, в которой –f(x)>0. Þ f(x)<0.

29. I теорема Больцано – Коши.

ТЕОР: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [A, B] и на концах сегмента имеет значения разных знаков. Тогда существует точка СÎ(А, В) в которой f(C)=0.

Док-во: Пусть f(A)<0 и f(B)>0. Разделим сегмент [A, B] пополам. Если значение функции в середине сегмента равно 0, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных сегментов, на концах которого функция имеет значение разных знаков. Обозначим его [A1, B1]. Повторим деление. Если продолжать этот процесс неограниченно, то либо на к-ом шаге значение функции в середине сегмента [Aк, Bк] окажется равным 0. Либо получим последовательность [A, B] É [A1, B1] É [A2, B2] É…É [An, Bn]… вложенных сегментов, причем Bn – An = (В – А)/2^n®0 при n®¥ и на концах каждого сегмента [An, Bn] функция имеет значения разных знаков. Þ Существует точка С принадлежащая всем сегментам. Докажем, что f(C)=0.

ПП: Пусть f(C)>0, тогда существует окрестность точки С (по Т об устойчивости знака непрерыв Ф), в которой f(C)>0. В эту окрестность при большом n попадает сегмент [An, Bn]. Þ На [An, Bn] будет выполняться неравенство f(x)>0, это противоречит тому, что на концах [An, Bn] функция имеет значения разных знаков (если f(C)<0 аналогично).

30. II теорема Больцано – Коши.

ТЕОР: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], причем f(a)=A, f(b)=B. Пусть далее С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на сегменте [a, b] найдется точка X0 такая, что f(X0)=C.

Док-во: Пусть A<B и A<C<B. Рассмотрим функцию j(x) = f(x) – C. Эта функция непрерывна на [a, b] как разность непрерывных функций и принимает на концах сегмента значения разных знаков: j(a)=f(a) – C=A – C<0 и j(b)=f(b) – C=B – C>0. Тогда (по1 Т Б-К) существует точка Х0Î(a, b) такая, что j(Х0)=f(X0) – C=0Þ f(X0)=C.

1. Точная верхняя (нижняя) грани функции.

Пусть функция f(x) определена на множестве Х, а У – множество ее значений. Если множество У ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Точная верхняя (нижняя) грань множества У называется точной верхней (нижней) гранью функции f(х) на множестве Х и обозначается sup x f(x) (inf x f(x))

Определение точной верхней (нижней0 граней функции f(х) можно сформулировать след образом: число М называется точной верхней (нижней) гранью функции f(х) на множестве Х, если выполнены след условия:

1) f(х0≤М (f(x) ≥m)для любог х € Х;

2) для любого числа М1 < M(m1>m) найдется по крйней мере одна точка х1 € Х, такая что f(x1) > M1 (f(x1>m1).

3) Если множество Н не ограничено сверху (снизу), то вместо числа М(m) пишут +∞(-∞).

4)

32. I теорема Вейерштрасса.

ТЕОР: Если функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.

Док-во:ПП: пусть f(x) не ограничена на [a, b]. Разделим сегмент пополам, тогда, по крайней мере, на одном из сегментов функция не ограничена. Обозначим этот сегмент [a1, b1]. Продолжим процесс деления неограниченно получим последовательность [a, b] É [a1, b1] É [a2, b2] É…É [an, bn]… Это последовательность вложенных отрезков, на каждом из них функция не ограничена (по предположению). По построению bn - an =(b – a)/2^n ®0 при n®¥. Тогда существует единственная точка С принадлежащая всем этим отрезкам. Функция f(x) определена и непрерывна на [a, b]. Þ Она непрерывна в точке С, но тогда (лемма) существует окрестность точки С, в которой f(x) ограничена. При большом n в эту окрестность попадает сегмент [an, bn], на котором функция также ограничена. Противоречие. Þ Она ограничена на этом сегменте.

ЗАМ: теорема неверна, если сегмент заменить на интервал.

33. II теорема Вейерштрасса.

ТЕОР: Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она достигает на этом сегменте своих точных граней, т. е. существуют точки X1, X2Î[a, b] такие, что f(X1)=M=sup f(X2)=m=inf f(x) на сегменте [a, b].

Док-во: Так как f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке (1 Т В). Þ Существует точная верхняя М и точная нижняя m грани функции f(x) на отрезке [a, b]. Докажем, что функция достигает М, т. е. существует точка Х1Î[a, b], что f(X1)=M. Тогда для "хÎ[a, b] выполняется неравенство f(x)<M. Построим вспомогательную функцию F(x)=1\(M-f(x))>0 для "хÎ[a, b]. Функция F(x) непрерывна (как частное непрерывных функций). Но тогда (по 1 Т В) F(x) ограничена, т. е. найдется число m>0 такое, что "хÎ[a, b] 1\(-f(x))£m или f(x)£M – 1/m.. Т. о. число М – 1/m является верхней гранью f(x) на отрезке [a, b]. Но это противоречит тому, что М – точная верхняя грань f(x) на отрезке [a, b]. Þ Существует точка X1Î[a, b], в которой f(x)=M. (Нижняя грань аналогично)

ЗАМ: после доказательства факта, что непрерывная на [a, b] функция достигает своих точной нижней и верхней граней, точную верхнюю грань принято называть максимальным значением, а точную нижнюю грань – минимальным значением. Теорема формулируется:

Дата добавления: 2015-08-02