Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.

Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если lim f(x) =f(A). (х®А)

ЗАМ: Если f(x) непрерывна в точке А, то она определена и существует в точке А.

Если lim x =A, то lim f(x) = f(A) = f(lim x). (х®А)

(Г) Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если для любой последовательности значений аргумента {Xn} сходящейся к А соответствующая последовательность значений функции {F(Xn)} сходится к числу F(A). ("{Xn}®A, XnÎX): {F(Xn)}®F(A)

(К) Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если для любого e >0 найдется отвечающее ему положительное число d такое, такое для всех х, удовлетворяющих условию

|x - A|< d,выполняется неравенство |f(x) – f(A)|<e.

("e >0)($d=d(e)>0)("xÎC:|x – A|<d):|f(x) – f(A)|<e

Приращение функции в точке А – Df = f(x) – f(a), приращение аргумента - Dх = х – а

Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Dх®0, lim Dy = 0. (Dх®0)

Если lim f(x) = f(А), то функция f(x) непрерывна в точке А справа. (х®А+)

Если lim f(x) = f(А), то функция f(x) непрерывна в точке А слева. (х®А -)

ТЕОР: Функция f(x) непрерывна в точке А, если она непрерывна в точке А справа и слева.

ОПР: Функция называется кусочно-непрерывной на сегменте [A, B], если она непрерывна во всех внутренних точках сегмента за исключением конечного числа точек, в которых имеет разрыв I рода и, кроме того, существуют односторонние пределы в точках А и В.

ОПР: Функция называется непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой прямой.

Дата добавления: 2015-08-02