Свойства бесконечно малых последовательностей.

ТЕОР: Произведение двух бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {an} и {bn} – б. м. последовательности. Так как последовательность {an} бесконечно малая, то для "e>0 существует номер N1, такой, что |an|<e для всех n>N1. А так как {bn} бесконечно малая последовательность, то для e=1 существует номер N2 такой, что |bn|<1 при всех n>N2. Возьмем N=max{N1,N2}, тогда при всех n>N будут выполняться оба неравенства одновременно Þ при всех n>N |an*bn|=|an|*|bn|<e*1=e. Это означает, что последовательность {an*bn}является бесконечно малой.

СЛЕД1: Произведение конечного числа б.м. последовательностей – последовательность бесконечно малая.

ТЕОР: Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {an} и {bn} бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность {an+bn} бесконечно малая. Пусть e – произвольное положительное число, N1 – номер, начиная с которого выполняется неравенство |an|<e/2, а N2 - номер, начиная с которого выполняется неравенство |bn|<e/2. Такие номера N1 и N2 существуют по определению бесконечно малой последовательности. Возьмем N=max{N1,N2}, тогда при всех n>N будут выполняться оба неравенства одновременно Þ при всех n>N |an±bn|≤|an|+|bn|<e/2+e/2=e. Это означает, что последовательность {an+bn}является бесконечно малой.

СЛЕД2: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

ТЕОР3: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {Xn} - ограниченная последовательность, а {an} – б. м. последовательность. Так как последовательность {Xn} ограничена, то существует число А>0, такое, что для любого элемента Xn выполняется неравенство |Xn|<A. Возьмем e>0. Так как {an} бесконечно малая последовательность, то для положительного числа e/A существует номер N, такой, что |an|<e/A Þ при всех n>N имеем |an*Xn|<A*e/A=e. А это означает, что последовательность {an*Xn} является бесконечно малой.

ЗАМ: Частное двух бесконечно малых последовательностей - не всегда последовательность бесконечно малая, она может быть бесконечно малой, бесконечно большой и ограниченной.

9. Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.

Число А – предел последовательности {Xn}, если для любого числа e>0, каким бы малым оно не было, существует номер N, зависящий от e, такой, что при всех n>N выполняется неравенство |Xn-A|< e.

А=limXn ("e>0)($N=N (e))("n>N):|Xn-A|<e (n®¥)

Последовательность, имеющая предел – сходящаяся последовательность.

Если последовательность не является сходящейся, то не существует и ее предела или он бесконечен –последовательность расходящаяся.

ЗАМ: пусть предел последовательности {Xn} равен А, тогда последовательность {an} ={Xn-A} – бесконечно малая.

Верно и обратное: если последовательность {Xn-A} – бесконечно малая, то ее предел равен А.

Если предел последовательности an равен 0, an –последовательность бесконечно малая.

Предел бесконечно большой последовательности равен бесконечности.

10. О единственности предела сходящейся последовательности.

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Док-во: Пп: т. е. что числа A и B – пределы сходящейся последовательности {Xn} и A¹B. Тогда получим Xn=A+an и Xn = B+bn, где {an} и {bn} – бесконечно малые последовательности. Получим из последних двух равенств, что an - bn=B – A. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {an - bn} равны одному числу B – A, то по лемме B – A=0, т. е. В=А.

Дата добавления: 2015-08-02