Читайте также:
|
Док-во. Как следует из системы неравенств аn≤ аn+1 < bn+1 ≤ bn, левые концы отрезков образуют неубывающую последовательность а1≤а2≤а3≤…≤ аn≤…(*), тогда как правые концы – невозрастающую последовательность b1≥b2≥b3≥…≥ bn ≥…(**). Последовательность (*) ограничена сверху, так как аn≤ b1 для всех n. Последовательность (**) ограничена снизу, так как bn≤а1 для всех n. В силу теоремы (е= lim(1+1\n)^n (n->∞) эти последовательности являются сходящимися. Пусть lim аn=c1 (n->∞), a lim bn =c2 (n->∞). Тогда по условию Lim (bn – аn) =0 (n->∞) (***) получаем, что lim bn - lim аn = с2-с1=0, оттуда следует с1=с2, т.е. последовательности (*) и (**) имеют общий предел. Обозначим его буквой с; т.о. для любого n справедливы неравенства аn ≤ с ≤ bn. Это означает, что точка с принадлежит всем отрезкам последовательности аn≤ аn+1 < bn+1 ≤ bn.
Покажем, что общая точка с является единственной.. Допустим обратное, т.е. что существует еще одна такая точка c' (c≠c’). Но тогда для всех n должны выполнятся неравенства bn – аn ≥ │с-с'│, а значит, lim bn – аn ≥ │с-с'│>0, что противоречит условию(***). Т,Д,
Замечание: Теорема становится неверной, если вместо отрезков взять систему интервалов.
17. Понятие функции и способы ее задания.
Если для любого элемента хÎХ поставлен в соответствие по закону f единственный элемент уÎУ, то на множестве Х задана функция y=f (x), причем х – независимая переменная (аргумент), все значения х – область определения функции D (f); совокупность всех значений функции f (x) – область значений функции Е(f).
Функцию, D(f) и E(f) которой являются числовые множества, называют числовой функцией одной действительной переменной.
Графиком функции f(x) является множество точек плоскости, абсцисса которых равна аргументу, а ордината равна значению функции.
Графиком числовой функции f, заданной на числовом промежутке Х, называется множество G всех точек координатной плоскости, имеющих вид М(х; f(х)), где хÎХ, т.е. {(х; у): у=f(х); хÎХ}.
Функция задана аналитически, если закон, устанавливающий соответствие между множествами всех значений аргумента и функции, задается формулой.
Преимущества: сжатость, компактность задания, можно вычислить значение функции для любого значения аргумента из области определения, можно применить к данной функции аппарат мат анализа.
Табличный способ задания заключается в задании таблицы определенных значений аргумента и соответствующих им значений функции.
При графическом способе задания функции соответствие между аргументом и функцией задается посредствам графика.
Преимущества: наглядность, что делает его чрезвычайно полезным при изучении функции.
Пусть заданы две функции y = f(x) и z = F(y), при чем D(F)ÉE(f), тогда для любого хÎХ соответствует zÎZ, где z = F(y), y = f(x), значит z=F(f(x)). Эта функция, определяемая соответствием называется сложной функцией или суперпозицией функций f и F.
Всякая функция, которая задана явным образом с помощью формулы, содержащей конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций называется элементарной функцией. D(f) = R для основных элементарных функций, при которых данная функция имеет смысл; E(f) - тоже вещественные числа.
Классификация функций. Это основные элементарные функции.
1) Степенная: у =х^c.
2) Показательная: у = a^x.
3) Логарифмическая: у = logax.
4) Тригонометрические.
5) Обратные тригонометрическим.
6) y = const.
1)Многочлены (полиномы): Р(Х)=А0+А1*Х+А2*X^2+ …+Аn*X^n
2)Рациональные R(x) =P9X)\Q(x), P(x) и Q(x) – многочлены.
3) Алгебраические, которые заданы с помощью суперпозиции рациональных функций, степенных с иррациональным показателем и арифметических действий.
4) Трансцендентные –элементарные функции, которые не являются алгебраическими. Все тригонометрические, обратные им, показательная, логарифмическая.
18. Предел функции в точке.
(Г) Число B называется пределом функцииПр У = F(Х) в точке А (или при Х®А), если для любой последовательности значений аргумента Х1, Х2,…, Хn,…, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, отличных от А, соответствующая последовательность значений функции F(X1), F(X2),…,F(Xn),… сходится к числу B. ("{Xn}®A, XnÎX, Xn¹A):{F(Xn)}®B
(К) Число B называется пределом функции У = F(Х) в точке А (или при Х®А), если для любого положительного числа e найдется отвечающее ему положительное число d, зависящее от e, такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию 0<|X – A|<d, справедливо неравенство |F(X) – B|<e.
("e>0)($ d=d(e)>0)("xÎX:0<|x – A|<d):|F(x) – B|<e
(Г) Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при Х®А), если для любой последовательности значений аргумента {Хn}, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, больших (меньших) А, соответствующая последовательность значений функции F(Xn) сходится к числу B. ("{Xn}®A, XnÎX, Xn>A):{F(Xn)}®B
("{Xn}®A, XnÎX, Xn<A):{F(Xn)}®B
(К) Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при Х®А), если для любого положительного числа e найдется отвечающее ему положительное число d, зависящее от e, такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию А<X<А+d (А - d<X<А), справедливо неравенство |F(X) – B|<e.
("e>0)($ d=d(e)>0)("xÎX:А<x<А+d):|F(x) – B|<e
("e>0)($ d=d(e)>0)("xÎX:А - d<x<А):|F(x) – B|<e
ТЕОР: Функция f(x) имеет предел в точке А тогда только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и оно равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Док-во: Пусть правый и левый пределы f(x) равны В. Тогда (по опр прав и лев предела) для ("e>0) ($d1>0 и d2>0) ("X) удовлетворяющих условию A-S1<X<A и A<X<A+S2, выполняется условие |f(x)–B|<S. Возьмем d=min{d1,d2}. Тогда для "X, удовлетворяющих условию 0<|X – A|<S, будет выполняться неравенство |f(x) – B|<S. Þ lim f(x)=B в точке А.
(Г) Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х®¥, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента {Хn} соответствующая последовательность значений функции {F(Xn} сходится к числу B.
("{Xn}®A, XnÎX):{F(Xn)}®B
Дата добавления: 2015-08-02; просмотров: 85 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Монотонная ограниченная последовательность сходится. | | | Предел функции на бесконечности (по Гейне и по Коши). |