Алгебраическая сумма, произведение, частное сходящихся последовательностей.

Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} есть также сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей {Xn} и {Yn}, lim(Xn ± Yn) = limXn ± limYn. (n®¥)

Док-во: Пусть А и В - пределы последовательностей {Xn} и {Yn}. По формуле Xn = A+an, Yn=B+bn, где {an}, {bn} – бесконечно малые последовательности. Þ (Xn ± Yn) = (A+an) ±(B+bn), (Xn ± Yn) - (A ± B) = an ± bn. Последовательность {Xn ± Yn} – бесконечно малая. Т. о., последовательность {(Xn ± Yn) - (A ± B)} тоже бесконечно малая Þ последовательность {(Xn ± Yn)} сходится и имеет предел равный A ± B.

Произведение сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} – есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {Xn} и {Yn}, lim(Xn*Yn)=limXn*limYn.(n®¥)

Док-во: Пусть А и В - пределы последовательностей {Xn} и {Yn}. По формуле Xn = A+an, Yn=B+bn, где {an}, {bn} – бесконечно малые последовательности. Þ Xn·Yn - A·B = A·bn +B·an +an ·bn. Последовательность {A·bn +B·an +an ·bn} - бесконечно малая. Þ {Xn·Yn - A·B} - тоже бесконечно малая последовательность Þ {Xn·Yn} сходится и имеет предел равный A·B.

Частное двух сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn}, при условии, что limYn¹0 (n®¥)

– есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов {Xn} и {Yn}.

Док-во: Пусть А и В (В¹0) - пределы последовательностей {Xn} и {Yn}. По формуле Xn = A+an, Yn=B+bn, где {an}, {bn} – бесконечно малые последовательности. Þ Хn\Yn-a\b=(b(a+an)-a(b+bn))\bYn=1\Yn(an-(abn)\b)

Последовательность {an – a\b·bn} – бесконечно малая.

Так как предел последовательности Yn равен В, то для e=|B|/2 найдется номер N, что "n>N выполняется неравенство |Yn|=|B-(B-Yn)|³|B|-|Yn-B|>|B|-|B|/2=|B|/2, т. е. |Yn|>|B|/2. Þ |1/Yn|<2/|B| для "n>N. Выберем A=max{2/|B|, |Y1|, |Y2|, K|Yn|}. Очевидно, что |1/Yn|£A для "n Þ последовательность {1/Yn} – ограничена. Þ {1/Yn(an – A/B·b)} – последовательность бесконечно малая Þ последовательность {Xn/Yn – A/B} – бесконечно малая. Þ последовательность {Xn/Yn} сходится и имеет предел А/В. Так как предел последовательности {Yn} не равен 0, то элементы Yn, начиная с номера N, не обращаются в 0 Þ частное {Xn/Yn} определено для "n>N.

12. Предельный переход в неравенствах.

Если элементы сходящейся последовательности {Xn} начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству Xn³B (Xn£B), то и предел А этой последовательности удовлетворяет неравенству A³B (A£B).

Док-во: Пусть все элементы {Xn} начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству Xn³B. Докажем, что А³В. Пп: что A<B. Так как предел Xn равен А, то для e=В-А>0 существует номер N такой, что при "n>N выполняется неравенство |Xn – A| < B – A. Оно равносильно неравенству -B + A < Xn – A < B – A. Из правого неравенства получаем: Xn<B при n>N, что противоречит условию. Þ А³В.

СЛЕД: 1.Если элементы сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} начиная с номера, удовлетворяют неравенству Xn³Yn (Xn£Yn), то limXn ³limYn (limXn£limYn).(n®¥)

3. Если все элементы сходящейся последовательности {Xn} находятся на отрезке [A,B], то предел последовательности - число СÎ[A,B].

13. О трех последовательностях

Даны три последовательности {Xn}, {Yn} и {Zn}, причем для любого элемента последовательности выполняется неравенство Xn£Yn£Zn, кроме того limXn=limZn=A, тогда limYn=А.(n®¥)

Док-во: Выберем "e>0, так как limXn= A, то ("e>0) ($N1) ("n>N1): |Xn – A|<e. А так как limZn=A, то ("e>0) ($N2) ("n>N2): |Zn – A|<e.

N=max{N1,N2}, то ("n>N): |Xn – A|<e и |Zn – A|<e.

A - e<Xn<A+e и A - e<Zn<A+e Þ "n: Xn£Yn£Zn Þ A - e<Xn£Yn£Zn <A+e Þ A - e<Yn<A+e Þ |Yn – A|<e Þ ("e>0) ($N=max{N1,N2}) ("n>N): |Yn – A|<e Þ limYn=А.

14. Монотонные последовательности.

Последовательность {Xn} – возрастающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство Xn<Xn+1.

Последовательность {Xn} – невозрастающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство Xn³Xn+1.

Последовательность {Xn} – неубывающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство Xn£Xn+1.

Последовательность {Xn} – убывающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство Xn>Xn+1.

Все монотонные последовательности ограничены хотя бы с одной стороны.

Дата добавления: 2015-08-02