Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.

(К) Функция А(х) называется бесконечно большой в точке х=А (или при х®А), если для любого положительного числа e >0 существует d>0 такое, что для всех хÎХ, удовлетворяющих условию 0<|x–A|<d, выполняется неравенство |А(x)|>e.

("e>0)($d=d(e)>0)("xÎX,0<|x – A|<d):|A(x)|>e

(Г) Функция А(х) называется бесконечно большой в точке х=А (или при х®А), если для любой сходящейся к А последовательности {Xn} значений аргумента Х, отличных от А, соответствующая последовательность значений функции {A(Xn)} является бесконечно большой.

("{Xn}®A, Xn¹A): {F(Xn)} – б-б

Функция обратная бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот.

Док-во: Пусть f(x) – бесконечно малая функция, т. е. ее предел равен 0. Пусть e>0, так как f(x) – бесконечно малая, то для 1/e>0 ($d=d(e)>0) ("xÎX, x¹A, |x-A|<d): |f(x)|<1/e Þ при этих условиях |1/f(x)|>e. ("e>0) ($d=d(A)>0) ("xÎX, x¹A, |x-A|<d): |1/f(x)|>e Þ 1/f(x) – бесконечно большая функция и ее предел равен ¥.

24. Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.

Говорят, что a(х) является в точке А бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем b(х), если limα(x)\ β(x)=0. a=о(b) (х®А)

Говорят, что a(х) и b(х) являются в точке А бесконечно малыми функциями одного порядка, если lim limα(x)\ β(x) =А. (х®А)

Говорят, что a(х) и b(х) являются в точке А эквивалентными бесконечно малыми функциями, если limα(x)\ β(x)=1. a(х)~b(х) (х®А)

ЗАМ: Аналогичны правила для бесконечно больших функций. Справедливы для х®А+, ®А-, +¥, - ¥, ¥.

ТЕОР: Если a(х) и b(х) бесконечно малые функции, то a(х) * b(х) = о(a(х)) и a(х) · b(х) = о(b(х)).

Док-во: lim (a(x)·b(x))/a(x)=lim b(x)=0, так как b(x) – бесконечно малая функция Þ a(х)·b(х) = о(a(х)) (a(х) · b(х) - более высокого порядка, чем a(х))

lim (a(x) ·b(x))/b(x)=lim a(х)=0, так как a(х) –бесконечно малая функция Þ a(х) · b(х) = о(b(х)) (a(х) · b(х) - более высокого порядка, чем b (х))

ТЕОР: Если a(х) ~ a1(х) и b(х) ~ b1(х) бесконечно малые функции и х®А, то существуют lim α(x)\ β(x) и lim α(x)1\ β(x)1, причем они равны. (х®А)

Док-во: lima1(x)/b1(x)=lim(a1(x)/a(x))·(a(x)/b(x)))·(b(x)/b1(x))=lim(a1(x)/a(x))·lim(a(x)/b(x))·lim(b(x)/b1(x))= =1·lim(a(x)/b(x))·1=lim(a(x)/b(x))

---

Дата добавления: 2015-08-02