ТЕОР: О связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательности.

1. Если последовательность {Xn} - бесконечно большая и все ее члены отличны от 0 (Хn¹0), то последовательность {1/Xn} - бесконечно малая.

Док–во: Пусть {Xn} – бесконечно большая последовательность. Возьмем любое e>0 и положим A=1/e. По определению бесконечно большой последовательности для А существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство |Xn|>A, отсюда получаем, что |1/Xn|=1/|Xn|<1/A=e для всех n>N. А это значит, что последовательность {1/Xn} – бесконечно малая.

2. Если последовательность {Xn} - бесконечно малая и все ее члены отличны от 0 (Хn¹0), то последовательность {1/Xn} - бесконечно большая.

Док–во: Пусть {Xn} – бесконечно малаяая последовательность. Возьмем любое e>0 и положим A=1/e. По определению бесконечно малой последовательности для А существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство |Xn|<A, отсюда получаем, что |1/Xn|=1/|Xn|>1/A=e для всех n>N. А это значит, что последовательность {1/Xn} – бесконечно большая.

ТЕОР:Произведение двух бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {an} и {bn} бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность {an·bn} бесконечно малая. Так как последовательность {an} бесконечно малая, то для "e>0 существует номер N1, такой, что |an|<e для всех n>N1. А так как {bn} бесконечно малая последовательность, то для e=1 существует номер N2 такой, что |bn|<1 при всех n>N2. Возьмем N=max{N1,N2}, тогда при всех n>N будут выполняться оба неравенства одновременно Þ при всех n>N |an·bn|=|an|·|bn|<e·1=e. Это означает, что последовательность {an·bn} является бесконечно малой.

СЛЕД1:Произведение любого числа на бесконечно малую последовательность – последовательность бесконечно малая.

ТЕОР:Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {an} и {bn} бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность {an+bn} бесконечно малая. Пусть e – произвольное положительное число, N1 – номер, начиная с которого выполняется неравенство |an|<e/2, а N2 - номер, начиная с которого выполняется неравенство |bn|<e/2. Такие номера N1 и N2 существуют по определению бесконечно малой последовательности. Возьмем N=max{N1,N2}, тогда при всех n>N будут выполняться оба неравенства одновременно Þ при всех n>N |an+bn|=|an|+|bn|<e/2+e/2=e. Это означает, что последовательность {an+bn} является бесконечно малой.

СЛЕД2: Алгебраическая сумма любого числа бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

ТЕОР:Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {Xn} ограниченная последовательность, а {an} – бесконечно малая последовательность. Покажем, что последовательность {an·Xn} – бесконечно малая. Так как последовательность {Xn} ограничена, то существует число А>0, такое, что для любого элемента Xn выполняется неравенство |Xn|<A. Возьмем e>0. Так как {an} бесконечно малая последовательность, то для положительного числа e/A существует номер N, такой, что |an|<e/A Þ при всех n>N имеем |an·Xn|<A·e/A=e. А это означает, что последовательность {an·Xn} является бесконечно малой.

ЗАМ:Частное двух бесконечно малых последовательностей - не всегда последовательность бесконечно малая, она может быть бесконечно малой, бесконечно большой и ограниченной.

Дата добавления: 2015-08-02