Необходимое условие точки перегиба.

ТЕОР: Пусть график функции Y=f(x) имеет перегиб в точке M(X0, f(X0)) и пусть функция Y=f(x) имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда f ’’(x) в точке обращается в 0, т. е. f ’’(x)=0.

Док-во: ПП: что f ’’(X0) ¹ 0. Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки X0, в которой f ’’(X0) < 0 (f ’’(X0) > 0), и значит (по Т о направлении выпуклости) график функции Y=f(x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке M(X0, f(X0)). Это и доказывает теорему.

64. Достаточное условие точки перегиба.

ТЕОР: Пусть функция Y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки X0. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ’’(X0) имеет разные знаки слева и справа от точки X0, то график Y=f(x) имеет перегиб в точке M(X0, f(X0)).

Док-во: Из того, что f ’’(X0) слева и справа от точки X0, имеет разные знаки, на основании теоремы о направлении выпуклости заключаем, что направление выпуклости графика функции слева и справа от точки X0 являются различными. Это и означает наличие перегиба в точке M(X0, f(X0)).

ЗАМ: теорема верна, если функция имеет II производную в окрестности точки за исключением самой точки и существует касательная к графику в этой точке.

65. Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.

Прямая x = X0 называется вертикальной асимптотой графика функции Y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim f(x) или lim f(x) при x® X0+ или X0- равно +¥ или -¥.

Прямая y = A называется горизонтальной асимптотой графика функции Y=f(x) при x®+¥ (x® -¥) если lim f(x) =A.

Прямая Y=k ·x + b (k ¹ 0) называется наклонной асимптотой графика функции Y=f(x) при x®+¥ (x® - ¥), если функцию f(x) можно представить в виде f(x) = k ·x + b + a(x), где a(x) ®0 при x®+¥ (x® - ¥).

Геометрический смысл наклонной асимптоты: Рассмотрим случай x®+¥.

Пусть M(x, y) – точка графика функции Y=f(x) и пусть прямая Y=k ·x + b является наклонной асимптотой графика функции при x®+¥. Опустим перпендикуляры из точки М на ось абсцисс и на асимптоту. Пересечение первого перпендикуляра с осью ОХ назовем точкой N(x, Y1), а второго – точкой P. Тогда |MN|=|y - Y1|=|f(x) – (k ·x + b)|=| a(x) | ®0 при x®+¥. d=|MP|=|MN| ·cos a, где a – угол между асимптотой и осью ОХ, и Þ lim d=0.

Т. о., расстояние от точки M(x, y) графика функции до асимптоты стремится к 0 при x®+¥, т. е. график функции неограниченно приближается к асимптоте при x®+¥.

ТЕОР: Для того, чтобы график функции Y=f(x) имел при x®+¥ асимптоту Y=k ·x + b, необходимо и достаточно существование пределов lim (f(x)/x) =k и lim (f(x) - k ·x) =b при x®+¥.

Док-во: Необходимость: Пусть график функции Y=f(x) имеет при x®+¥ асимптоту Y=k ·x + b, т. е. для f(x) справедливо представление f(x) = k ·x + b + a(x). Тогдапри x®+¥

lim (f(x)/x) = lim ((k ·x + b + a(x)) /x) = lim (k + b/x + a(x)/x) = k и lim (f(x) - k ·x) = lim (b +a(x)) = b.

Достаточность: Пусть существуют пределы lim (f(x)/x) =k и lim (f(x) - k ·x) =b при x®+¥. Из второго равенства, что разность f(x) - k ·x - b является бесконечно малой при x®+¥. Обозначим эту бесконечно малую через a(x), получим для f(x) представление: f(x) = k ·x + b + a(x).

Для x® - ¥ аналогично.

Дата добавления: 2015-08-02