Общие свойства непрерывных функций

Теоремы, отражающие основные свойства непрерывных функций, имеют очень простой геометрический смысл. Утверждения теорем легко установить с учетом того, что график непрерывной на промежутке Р функции представляет собой непрерывную (сплошную) кривую на этом промежутке. Поэтому ниже мы приведем лишь формулировки этих теорем.

Теорема 1 (вторая теорема Коши). Пусть функция f (x) определена и непрерывна в некотором промежутке Р. Если в двух точках х = х ₁ и х = х ₂ (х ₁ < х ₂) этого промежутка функция принимает неравные значения

f (x ₁) = у ₁ и f (x ₂) = у ₂,

то, каково бы ни было число у ₃, лежащее между у ₁ и у ₂, найдется такая точка х = х ₃ между х ₁ и х ₂, что f (x ₃) = у ₃.

Следствия: а) значения, принимаемые непрерывной функцией f (x), когда х изменяется в каком-либо промежутке Р,сами также заполняют сплошь некоторый промежуток Е;

б) если значения f (x ₁) и f (x ₂) разных знаков, то между х ₁ и х ₂ необходимо найдется точка х ₃, в которой функция обращается в нуль: f (x ₃) = 0 (первая теорема Коши, теорема о корне);

в) если функция f (x) непрерывна в точке х = х ₀ и значение f (x ₀) отлично от нуля, то для всех достаточно близких к х ₀ значений х функция f (x) сохраняет тот же знак, какой она имеет в точке х ₀.

Теорема 2. Пусть функция у = f (x) определена, строго монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке Е. Тогда в соответствующем промежутке Е значений этой функции, существует обратная функция х = g (y), также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.

Теорема 3. Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке Р = [ a, b ], то: а) она ограничена (первая теорема Вейерштрасса) б) достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижних границ, (вторая теорема Вейерштрасса) .

Иными словами, в промежутке [ a, b ] найдутся такие точки х = х ₁ и х = х ₂, что значения f (х ₁) и f (х ₂) будут, соответственно, наибольшим и наименьшим из всех значений функции f (x).

---

Дата добавления: 2015-07-20