Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дискретное преобразование Лапласа.

Основные положения. | Решетчатые функции | Передаточные функции дискретных систем | Определение процессов в импульсных системах при типовых воздействиях. | Учитывая, что Ф(z,e) является дробно-рациональной по отношению к переменной z и обозначая | Анализ устойчивости дискретных систем. | Критерий Рауса-Гурвица. | Построение низкочастотной части ЛЧХ | Обеспечение заданной точности. | Расчет дискретных корректирующих средств. |


Читайте также:
  1. Дискретное представление аналоговых сигналов
  2. Инверсия и преобразование силы интегративного-тактического воздействия
  3. КОНКРЕТНЫЕ ОСОБЕННОСТИ НАЦИОНАЛЬНОГО ВОПРОСА В РОССИИ И ЕЕ БУРЖУАЗНО-ДЕМОКРАТИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
  4. ОМ - это все виды деятельности, связанные с преднамеренным преобразованием (трансформацией) материалов, информации или покупателей.
  5. Петр I занимается воинским преобразованием в селе Преображенском. 1687 год
  6. Понятие передаточной функции. Свойства преобразования Лапласа.

Для использования импульсных систем автоматического регулирования, а также в других прикладных задачах, связанными с решетчатыми функциями и разностными уравнениями, используется преобразование, определяемое формулой

F*(q)= e-qnf[n] (1)

Где q=s+ - комплексная переменная.

Оно называется дискретным преобразованием Лапласа, а также D-преобразованием и сокращенно обозначается D{f[n]}, т.е.

F*(q)=D{f[n]}

Функция F*(q), определяемая (1) называется изображением. Дискретное преобразование Лапласа может быть определено и для смещенных решетчатых функций в соответствии с формулой

F*(q, e)=D{f[n, e]}= e-qnf[n, e] (2)

Где e - параметр, принимающий значения на отрезке [0,1].

Наряду с D - преобразованием в теории автоматического регулирования применяется так называемое Z -преобразование, определяемое (1), (2), в которых используется новая переменная

z=eq

F*z(z)= z-nf[n]

Z -преобразование принято обозначать так

Z{f[n]}=F*z(z)

Если известно изображение F*(q) некоторой решетчатой функции, то соответствующее изображение F*z(z) может быть найдено с помощью замены комплексной переменной q по формуле

q=ln z®F*z(z)= F*(ln z)

Аналогично можно определить изображение F*(z)

F*(q)= F*z(eq).

Таким образом, принципиальной разницы между D - преобразованием и Z -преобразованием не существует. Все основные свойства Z -преобразования могут быть получены из соответствующих свойств D -преобразования.

Отметим, что D -преобразование решетчатой функции f[n] можно рассматривать как обычное преобразование Лапласа функции, состоящей из последовательности смещенных дельта-функций

g(t)= f[n]d(t-n)

Применяя к этой функции преобразование Лапласа на основании фильтрующего свойства d -функции получим

L[g(t)]= g(t)e-qtdt= f[n] d(t-n)e-qtdt= f[n] d(t-n) e-qtdt=

= f[n] e-qn=D{f[n]}

Формула обращения определяет решетчатую функцию f[n] по заданному изображению F*(q)

f[n]=D-1{F(q)} (n³0)

D-1 -преобразование определяется формулой

f[n]= F*(q)eqndq (n³0)

где с>de; de - абсцисса абсолютной сходимости.

Для смещенных решетчатых функций формула D-1-преобразования имеет вид

f[n,e]= F*(q, e)eqndq

Наконец, формула обращения Z -преобразования, которая получается из предыдущей путем замены z=eq

f[n]= F*(z, e)zn-1dt

 

интегрирование производится по окружности c радиуса eс, где c>se в положительном направлении. К последующему выражению можно применить теорему о вычетах, согласно которой получим

f[n]= ResF*(z,e)zn-1 ½z=zn,

где z= zn - полюса функции F*(z, e)zn-1, лежащие внутри окружности с.

Однако более удобен путь разложения функции F*[z,e] в ряд Лорана по убывающим степеням z. Коэффициенты при соответствующих степенях z равны значениям оригинала в дискретные моменты времени t=nT, где n=0,1,2 … Т. к. Z - преобразование представляет собой дробно-рациональную функцию, то разложение в ряд Лорана можно делать делением числителя на знаменатель выражения F*(z,e).

Таким образом, проводя разложение в ряд

F*(z,e)=a0(e)+a1(e)z-1+…+ an(e)z-n+…+…

Получаем f[n, e]=an(e), n=0, 1, 2…

 

Примеры

1. F*(q)=D{1[n]}= e-qn1[n]

при условии, что Re q>0 этот ряд сходится, т.к. сумма ряда, изображение функции 1[n], равна

F*(q)= e-qn= , абсцисса абсолютной сходимости sl =0

F*(z)=

2. D{ea n}, a - любое вещественное число

D{ ea n }= e-q nea n= e-n(q-a)= = ,

т.е. F*(q)= , а F/(z)= , где d=ea

Здесь абсцисса абсолютной сходимости sl=a

Найти оригинал, соответствующий изображению.

3. F*z(z)= .

4. Разложим F*(z) в ряд Лорана путем деления числителя на знаменатель

_Tz ½ Z2-2z+1

Tz-2T+Tz-1 z-1+2Tz-2+3Tz-3+

0_2T-Tz-1

2T-4Tz-1+2Tz-2

0_3Tz-1-2Tz-2

3Tz-1-6Tz-2+3Tz-3

0 4Tz-2-3Tz-3

 

получим f[n]=an=nT, n=0, 1, 2,… чему соответствуе непрерывная функция f(t)=t при T=1

4. F*z(z)= , где d=e-b;

f[n]=ne-b(n-1). Здесь Т=1

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 168 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Для решетчатых функций вводится понятие конечных разностей и сумм, которые в некотором смысле соответствуют понятиям производной и интеграла для обычных функций.| Свойства Z-преобразования.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)