Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Критерий Рауса-Гурвица.

Основные положения. | Решетчатые функции | Для решетчатых функций вводится понятие конечных разностей и сумм, которые в некотором смысле соответствуют понятиям производной и интеграла для обычных функций. | Дискретное преобразование Лапласа. | Свойства Z-преобразования. | Передаточные функции дискретных систем | Определение процессов в импульсных системах при типовых воздействиях. | Учитывая, что Ф(z,e) является дробно-рациональной по отношению к переменной z и обозначая | Обеспечение заданной точности. | Расчет дискретных корректирующих средств. |


Читайте также:
  1. BL (MM) - критерий.
  2. Критерии выбора поставщика (5 - очень важный критерий, ..., 1- неважный критерий)
  3. Критерий U-Манна-Уитни
  4. Критерий Байеса
  5. Критерий Гермейера.
  6. Критерий Гурвица.
  7. Критерий Гурвица.

 

Критерий Рауса-Гурвица в рассматриваемом случае можно применить, если выполнить конформноеотображение плоскости комплексного переменного z на плоскость комплексного переменного w таким образом, чтобы единичная окружность |z|=1 перешла в мнимую ось на плоскости переменного w, а внутренность единичного круга |z|<1 отобразилась на левую полуплоскость Re w<0. Такое отображение выполняется с помощью дробно-линейного преобразования.

       
   
 
 

 

 


Выполняя замену переменной в

многочлене A(z) получим

 

 

a0 ((1+w)/(1-w))k + a1 ((1+w)/(1-w)k-1 +..+ ak = A1(w)/(1-w)k

 

где A1(w)- многочлен степени k новой переменной w.

Например, при k=2

 

A1(w)=a0 (1-w) 2+a1(1+w)(1-w)+a2(1-w) 2 =

=a0+2a0w+a0w2+a1 - a1w2+a2-2a2w+a2w2=

=b0w2+b1w+b2,

где

b0= a0 -a1 +a2

b1= 2a0 -2a2

b2= a0 -a1 +a2

Исследование расположения корней многочлена A1(W) можно проводить с помощью критерия Гурвица, имеющего совокупность определителей

D1 =b1, D2 = ,

.

Рассмотренный алгебраический метод позволяет определить является ли система асимптотическиустойчивой, однако не дает возможности исследовать устойчивость в тех случаях, когда корни A(z) лежат на самой единичной окружности |z|=1. Недостатком метода является значительная трудоемкость вычислений. Метод весьма громоздок при синтезе САР. Более удобными являются частотные методы, которые рассмотрим ниже.

 

Частотные характеристики

При исследовании дискретных систем широко используются частотные методы. Для получения частотной передаточной функции необходимо в выражение для передаточной функции сделать подстановку z=ej T

W(ej T)= .

Частотные характеристики в этом случае (АФХ, АЧХ, ФХ) оказываются периодическими функциями частоты с периодом .

Более удобным для получения частотных характеристик и, в частности, логарифмических является использование псевдочастоты. Обычно для этого применяют w – преобразование, при помощи которого окружность единичного радиуса e j T отображается на мнимую ось комплексной величины w с помощью подстановки

или

Сделав подстановку , получим

где - относительная псевдочастота.

В дальнейшем изложении будем использовать, так называемую абсолютную псевдочастоту

.

При малых частотах ( < ) абсолютная псевдочастота практически совпадает с обычной частотой , т. к. в этом случае .

Это является весьма удобным, т. к. в этом случае частотные характеристики в функции псевдочастоты практически сливаются с частотными характеристиками, построенными в функции обычной круговой частоты . Построение же характеристик в функции псевдочастоты оказывается значительно более простым.

Нетрудно заметить, что при изменении частоты в пределах , , а комплексная величина w движется по мнимой оси от до .

.

Аналогично для разомкнутой системы

.

Для получения частотной характеристики необходимо сделать подстановку

.

Однако, как и ранее следует учитывать особый вид функции ,которая не равна W(s) при s=j и не равна W(z) при z=j .

Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

.

Частотная характеристика может быть получена подстановкой . Тогда

.

Построение ЛАХ и ЛФХ по этому выражению даже в этом простейшем случае вызывает затруднения. Перейдем к псевдочастоте. Тогда

.

Построение асимптотической ЛАХ и ЛФХ в этом случае не вызывает никаких затруднений.

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 57 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Анализ устойчивости дискретных систем.| Построение низкочастотной части ЛЧХ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)