Понятие передаточной функции. Свойства преобразования Лапласа.

В ведем оператор или символ дифф-я: p=d/dt, тогда старшие производные будут d²/dt²=p² … dⁿ/dtⁿ=pⁿ, ∫dt=1/p подставим в уравнение a_n* (dⁿy (t) /dtⁿ) + a_n-1*(d^n-1y(t)/dt^n-1)+…+ a₁*(dy(t)/dt)+ a₀ *y(t) = b_m*(d^mu(t)/dt^m) + b_m-1* (d^m-1 u(t)/dt^m-1)+…+ b₁*(du(t)/dt)+ b₀*u(t) (1) и получим a_n*pⁿY(p) + a_n-1*p^n-1 Y(p) +…+ a₁* pY(p)+ a₀*Y(p) = b_m*p^mU(p) + b_m-1* p^m-1 U(p)+…+ b₁* pU (p)+ b₀*U(p) (2). Ур-е (1) назыв. оригиналом; Ур-е (2) назыв. операт. изображением. u(t) и y(t)- оригиналы входного и выходного сигналов; U(p) и Y(p)- их операторные изображения. Вынесем за скопку: [a_n*pⁿ + a_n-1*p^n-1 +…+ a₁* p+ a₀]*Y(p) = [b_m*p^m + b_m-1* p^m-1 +…+ b₁* p+ b₀]*U(p) (3) В начале это выглядело как простое упрощение записи диф. ур-я, но завсем этим стоит сложный математ. смысл и в частности метод интегральных интегральных преобразований Лапласа, Карсона, Фурье. Суть интегрального преобразования состоит в том, что оно ставит в соотв-ие некоторые ф-ии вещественной перем-ой f(t) называемой оригиналом, функцию комплексной переменной F(s) называемой изображением. Формула прямого интегрального преобразования Лапласа имеет вид: F(s)=L{f(t)}=∫f(t)*e^-stdt, s=α + jδ – комплексная переменная оператора Лапласа. Если произвести преобразование Лапласа ур-я (1) при нулевых начальных условиях, то мы получим [a_n*sⁿ + a_n-1*s^n-1 +…+ a₁* s+ a₀]*Y(s) = [b_m*s^m + b_m-1* s^m-1 +…+ b₁* s+ b₀]*U(s) (4) Видим, что при нулевых начальных условиях изображение по Лапласу (4) и операт. изображение (3) и исходное диф. ур-е динамики (1) формально с точностью до обозначения совпадают. Достоинства метода интегрального преобразов. состоит в том что преобразутся не только ф-ии (оригин-ы в изобр-я), но и операции над ними дифф-е на умножение. В результате диф. ур-е приводится к алгебраическому виду. Из выражений (3) или (4) получают очень важную хар-ку назыв. передаточной фун-ей W(p) = Y(p)/U(p) = b_m*p^m + b_m-1* p^m-1 +…+ b₁* p+ b₀ /

a_n*pⁿ + a_n-1*p^n-1 +…+ a₁* p+ a₀. Def передат-я ф-я это есть отношение операторного изображения выходной величины к изображению входной величины. Y(p)=W(p)*U(p). П.Ф. связыв. вх. и вых. сигналы, но сама не содержит вход и выход сигналов. Св-ва П.Ф: 1) П.Ф. явл. дробной функцией. К(р)- входной оператор, D(p)- выходной оператор (собств. оператор), характерестический полином. Он хар-ет свободное движение звена или системы. 2) Корни числителя К(р)=0, назыв. нулями П.Ф. Корни знаменателя D(p)=0, назыв. полюсами П.Ф. 3) Все коэфф. П.Ф. a_i, b_i, яв-ся вещественными числами. Не вещественные нули и полюса могут быть только парными комплексно сопряженными вел-ми. Св-ва преобразователей Лапласа: 1) Линейность L{Σf_i(t)} = ΣL{f_i(t)}= Σ F_i(s). L{a*f(t)}=a*L{f(t)} = a*F(s). 2) Изображение производной L{f’(t)} = s*

F(s)-f(-0). f(-0) – значение оригинала при подходе к т. t=0 слева. При нулевых начал. условиях: L{f’(t)}=s*F(s), L{f’’(t)}=s²*F(s) 3) Начальное значение оригинала при подходе к t=0 справа: f(+0)=lim_s→∞ s*F(s) 4) Конечное значение оригинала: lim_t→∞ f(t)= lim_s→∞ s*F(s) 5) Запаздывание аргумента: L{f(t-τ)}=F(s)e^-τs. Операторный метод и метод интегральных преобразований явл. инженерным методом решения дифф. ур-й. Если по диф. ур-ю найти передаточную фун-ю т.е (DY→ПФ)W(p), то умножив ее на изображение вход. воздействия найдем изображ-е решения диф. ур-я: W(p)*U(p)=Y(p). Изображ. вход. возд-я:

Чтобы найти оригинал y(t)- решение диф. ур-я необходимо выполнить обрат. преобраз-е Лапласа: y(t)=L^-1{W(p)*U(p)}. Формула обрат. преобраз. Лапласа: f(t)=1/2Пj*∫

F(s)e^stds. Это контурный интеграл на комплексной плоскости. В инженерной практике обычно используют таблицы прямого и обратного преобразования Лапласа для набора различных ф-ий.

В случае сложной передаточной ф-ии ее следует разложить на простые дроби: Y(s) = K(s)/D(s) = (c₁/s-s₁)+ (c₂/s-s₂)+…+ (c_i/(s+α_i)²+ω_0i²)+…

Дата добавления: 2015-07-25