Читайте также:
|
|
Точка Р, лежащая внутри , называется первой точкой Брокара (рис. 1.8), если
. Точка Q, лежащая внутри
, называется второй точкой Брокара (рис. 1.9), если
.
Известно, что ([4, стр. 23]). Угол
называют углом Брокара.
1.5.1. При каких условиях первая (вторая) точка Брокара
находится на пересечении зон Дирихле всех вершин треугольника?
Это возможно только в том случае, если точка Р (Q) совпадает с центром описанной окружности. Пусть это так (рис. 1.10). Имеем , так как
— центр описанной окружности
,
,
— равнобедренные
,
,
(как углы при основании равнобедренных треугольников). Так как
– первая точка Брокара, то
, то есть
(
— равносторонний). Аналогично, вторая точка Брокара (Q) совпадает с центром описанной окружности только в правильном треугольнике.
1.5.2. При каких условиях первая точка Брокара
принадлежит зоне Дирихле вершины А?
Задание: найти условия на элементы треугольника, при которых верно:
.
А) Из имеем:
,
,
или
, то есть
.
Б) Из имеем:
,
,
или
, то есть
.
В) Из имеем:
,
,
или
, то есть
.
По теореме синусов (для ,
,
):
Решим предыдущую систему. Начнём с первого неравенства.
.
По теореме синусов: ,
.
Значит, .
Рассмотрим второе неравенство. .
По теореме синусов: ,
Значит, .
Система верна при
Вывод: .
1.5.3. При каких условиях вторая точка Брокара
принадлежит зоне Дирихле точки А?
Задание: найти условия элементов треугольника, при которых верно:
.
А) Из имеем:
,
,
или
, то есть
.
Б) Из имеем:
,
,
или
, то есть
.
В) Из имеем:
,
,
или
, то есть
.
По теореме синусов:
.
.
.
.
Решим предыдущую систему. Начнём с первого неравенства.
По теореме синусов: ,
.
Значит, .
Рассмотрим второе неравенство. .
По теореме синусов: ,
.
Значит,
Система верна при
Вывод: .
При каких условиях обе точки Брокара
принадлежат зоне Дирихле вершины А?
.
Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 137 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Инцентр | | | Точка Торричелли |