Читайте также:
|
Точка Р, лежащая внутри 
, называется первой точкой Брокара (рис. 1.8), если 
. Точка Q, лежащая внутри , называется второй точкой Брокара (рис. 1.9), если 
.
Известно, что 
([4, стр. 23]). Угол 
называют углом Брокара.
1.5.1. При каких условиях первая (вторая) точка Брокара
находится на пересечении зон Дирихле всех вершин треугольника?
Это возможно только в том случае, если точка Р (Q) совпадает с центром описанной окружности. Пусть это так (рис. 1.10). Имеем 
, так как 
— центр описанной окружности 
, 
, 
— равнобедренные 
, 
, 
(как углы при основании равнобедренных треугольников). Так как 
– первая точка Брокара, то 
, то есть 
(
— равносторонний). Аналогично, вторая точка Брокара (Q) совпадает с центром описанной окружности только в правильном треугольнике.
1.5.2. При каких условиях первая точка Брокара
принадлежит зоне Дирихле вершины А?
Задание: найти условия на элементы треугольника, при которых верно:
.
А) Из 
имеем: 
, 
,
или 
, то есть 
.
Б) Из 
имеем: 
, 
,
или 
, то есть 
.
В) Из 
имеем: 
, 
,
или 
, то есть 
.
По теореме синусов (для 
, , ):
Решим предыдущую систему. Начнём с первого неравенства.
.
По теореме синусов: 
, 
.
Значит, 
.
Рассмотрим второе неравенство. 
.
По теореме синусов: 
, 
Значит, 
.
Система 
верна при 
Вывод: 
.
1.5.3. При каких условиях вторая точка Брокара
принадлежит зоне Дирихле точки А?
Задание: найти условия элементов треугольника, при которых верно:
.
А) Из 
имеем: 
, 
,
или 
, то есть 
.
Б) Из 
имеем: 
, 
,
или 
, то есть 
.
В) Из 
имеем: 
, 
,
или 
, то есть 
.
По теореме синусов:
.
.
.
.
Решим предыдущую систему. Начнём с первого неравенства.
По теореме синусов: , 
.
Значит, 
.
Рассмотрим второе неравенство. 
.
По теореме синусов: , 
.
Значит, 
Система 
верна при 
Вывод: 
.
При каких условиях обе точки Брокара
принадлежат зоне Дирихле вершины А?
.
Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 137 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Инцентр | | | Точка Торричелли |