ВВЕДЕНИЕ. Актуальность темы.Хорошо известно понятие «метрическое пространство» (это множество

Актуальность темы. Хорошо известно понятие «метрическое пространство» (это множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов) и «зоны Дирихле» в метрическом пространстве. Для несколько точек метрического пространства оно делится на зоны Дирихле относительно этих точек следующим образом: каждой из точек соотносится такое подмножество метрического пространства , что , . Зоны Дирихлетакже называют сферами влияния. Они используются во многих прикладных задачах [1]. В качестве примеров можно привести задачу о станциях метро, а также задачу из теории кодирования (см. приложение «Зоны Дирихле в метрических пространствах и их приложения» к данной работе).

В треугольнике известно множество замечательных точек, обладающих важными свойствами. Например, точка Торричелли широко используется в теории кратчайших сетей [2]. Также существует и активно используется понятие центра тяжести (центра масс) системы материальных точек на плоскости [3]. При этом многие замечательные точки треугольника являются центрами тяжести системы вершин треугольника, в которые помещены грузы с некоторыми массами [3].

В связи с этим интерес представляет задача выяснения условий на элементы треугольника, при которых эти точки принадлежат зонам Дирихле одной или нескольких вершин треугольника.

Объект исследования. Треугольник и его элементы (особенно – различные его замечательные точки).

Предмет исследования. Принадлежность замечательных точек треугольника зонам Дирихле его вершин в евклидовой метрике на плоскости.

Цели и задачи работы. Цель данной работы состоит в том, чтобы провести исследование и выяснить условия принадлежности основных замечательных точек треугольника зонам Дирихле вершин треугольника. Попутно изучаются понятия метрика (расстояние), метрическое пространство и зоны Дирихле в метрических пространствах, рассмотрены способы деления пространств на зоны Дирихле, приложения зон Дирихле к некоторым прикладным задачам.

В первом разделе выяснены условия принадлежности ряда замечательных точек, таких как ортоцентр, инцентр, центроид, центр описанной окружности, 2 точки Брокара, точка Торричелли в треугольнике зонам Дирихле их вершин в зависимости от элементов (см. теорему на с. 16).

Во втором разделе составлены и решены 5 авторских задач, в которых используется полученный результат.

Приложения посвящены метрическим пространствам, зонам Дирихле в них и некоторым их приложениям.

Также написано три программы на языке программирования Delphi 7 для персонального компьютера. Программы автоматизируют деление пространства на сферы влияния для разных метрик, а также определение принадлежности исследуемых точек зонам Дирихле. Подробнее про работу программ можно прочитать в приложениях к работе.

Научная новизна. Самостоятельно получена теорема о принадлежности замечательных точек треугольника (ортоцентр, инцентр, центроид, центр описанной окружности, 2 точки Брокара, точка Торричелли) зонам Дирихле его вершин. Также составлено и решено 5 авторских задач, в которых используется полученный результат. Указанных фактов нет в доступной автору литературе. Полученные результаты дополняют и развивают геометрию треугольника.

Методы исследования. В работе используются методы геометрии треугольника (для вывода теоремы, решения задач), метод координат (для написания программ), метод математического анализа, а именно неравенства Коши, принцип упорядоченных наборов (для решения авторских задач (№№ 1, 2)).

Практическая значимость работы. Работа имеет, в основном, теоретическое значение. Отдельные факты имеют некоторое прикладное значение (например, задачи о торговых точках).

Дата добавления: 2015-07-25