ДУ, допускающие понижение порядка.

1) Если дифференциальное уравнение имеет вид:

(9)

т. е. правая часть не содержит у, у ¢ и т.д. до n-1 производной функции y, то ДУ решается n-кратным последовательным интегрированием:

и т.д. пока не будет найдена искомая функция y(x).

Пример: решить ДУ

Интегрируем это выражение в первый раз

И далее

Итак:

2) Если дифференциальное уравнение имеет вид:

(10)

т.е. в уравнении отсутствуют все младшие производные и сама функция, кроме двух последних производных и . Тогда, введя новую функцию и, соответственно получим ОДУ первого порядка вида . Это уравнение можно решать одним из вышеописанных способов для уравнений первого порядка.

Пример.

Решение

Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно искомую функцию и ее первую производную y’. Введем новую функцию , тогда . Получим уравнение:

Вернемся к первоначальной переменной:

Последовательно интегрируя, получим:

Для простоты можно переобозначить на , а на , тогда общее решение примет вид:

3) Если дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

, (11)

т.е. если в уравнении отсутствует явно переменная x.

Тогда проведем замену , считая производную функцией от y. Тогда по формуле дифференцирования сложной функции: . И, подставив все эти выражения в исходное ДУ, получим его в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно функции p и переменной y: . Его можно решать методами, описанными выше.

Пример: решить ДУ

Видно, что в этом уравнении второго порядка отсутствует в явном виде переменная x. Тогда, применяя описанную выше замену и , получим:

или - первое решение ДУ.

Продолжая решать первое уравнение

Возвращаемся к исходной функции y(x):

, где переобозначили

Итак, первое решение ДУ , второе .

Дата добавления: 2015-07-25