Задача № 8. В первые классы школы должны быть приняты 200 детей

В первые классы школы должны быть приняты 200 детей. Вероятность появления среди принятых детей мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди них девочек и мальчиков будет поровну, и вероятность того, что мальчиков меньше, чем девочек.

Решение.

№	Алгоритмы	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
	Ввести обозначение для заданных величин	n – число детей m – число мальчиков р – вероятность того, что ученик мальчик (р = 0.515) q = 0.485 n = 200 Найти р 200(100) и р 200(m < n-m) = р 200 (m < n/ 2) = p 200 (m < 100)
	10.Вычислить требуемую вероятность, используя, используя а)формулу Муавра-Лапласа, когда надо найти конкретное значение вероятности для m; б)интегральную формулу Лапласа, когда надо найти вероятность попадания в интервал [ m1,m2 ].	а) Так как n велико, а р не мало и np > 10, нужно воспользоваться локальной теоремой Муавра-Лапласа, по которой рn(m) можно вычислить по формуле: (значения j(х) содержится в таблице 3), np =103, б) Для вычисления значения P 200 (m < 100) используют интегральную теорему Лапласа: Рn(m 1£ m£m 2)= Ф(х 2 )-Ф(х 1 ), где и Ф(х) - функция Лапласа затабулирована (таблица 3), причем Ф(-х)=-Ф(х).   Воспользовались тем, что Ф(-х) = -Ф(х) и тем, что Ф(¥) = 0.5; значение Ф (0.43) взяли из таблицы 3.

Комплексные умения и алгоритмы

к разделу 2 «Дискретные и непрерывные случайные величины»

№	Умения	Алгоритмы
	Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для подсчета вероятностей числа успехов. Независимые повторные испытания. Схема Бернулли.	1. Ввести обозначения для заданных величин: чис­ла испытаний, числа успехов, вероятности наступ­ления события A, и выписать их значения. Выписать формулу Бернулли для искомой вероятности (по алгоритму 6). 2.Сосчитать требуемую вероятность, выбрав соответствующую содержанию задачи формулу Бернулли. 3. Найти числовые характеристики ДСВ по формулам МX = np, DX = npq и . 4.Составить ряд распределений случайной величины X – числа возможных образцов. 5.Составить функцию распределения случайной величины X – числа возможных образцов. 6. Построить график функции распределения ДСВ, учитывая значение накопительной вероятности на каждом интервале.
	Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов в k-ом испытании (геометрические распределения).	1. Ввести обозначения для заданных величин: чис­ла испытаний, числа успехов, вероятности наступ­ления события A, и выписать их значения. Выписать формулу числа успехов геометрических распределений для искомой вероятности т.е. вероятности того, что событие впервые произойдет в k –ом испытании. 2.Сосчитать требуемую вероятность, выбрав соответствующую содержанию задачи формулу числа успехов успехов в k-ом испытании т.е. геометрических распределений . 3.Найти числовые характеристики ДСВ по формулам МX = , DX = и . 4. Составить ряд распределений случайной величины X – числа возможных образцов. 5.Составить функцию распределения случайной величины X – числа возможных образцов. 6.. Построить график функции распределения ДСВ, учитывая значение накопительной вероятности на каждом интервале.
	Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов гипергеометрических распределений.	1. Ввести обозначения для заданных величин: чис­ла испытаний, числа успехов, вероятности наступ­ления события A, и выписать их значения. Выписать формулу для искомой вероятности: если необходимо установить вероятность появления отдельных долей подмножеств, то используют гипергеометрические распределения. 2.Сосчитать требуемую вероятность, выбрав соответствующую содержанию задачи формулу числа успехов для гипергеометрических распределений (алгоритм 4-в). 3. Найти числовые характеристики ДСВ по общим формулам , и . 4.Составить ряд распределений случайной величины X – числа возможных образцов. 5.Составить функцию распределения случайной величины X – числа возможных образцов. 6. Построить график функции распределения ДСВ, учитывая значение накопительной вероятности на каждом интервале.
	Вычисление числовых характеристик ДСВ Z=f(X,Y). Вычисление вероятности попадания в интервал случайной величины Z=f(X,Y).	1. Составить ряд распределений для одинаково распределенных случайных величин X, Y, Z=f(X,Y). 2. Вычислить математическое ожиданиепо формуле MZ = 3. Вычислить дисперсиюпо формуле DZ= -MZ^2 и среднеквадратичное отклонение s Z= . 4. Вычислить вероятности попадания в интервал случайной величины Z=f(X,Y).
	Вычисление числовых характеристик НСВ, а также вероятность попадания НСВ Х в интервал P (a< Х < b)	1.Записать функцию плотностивероятности f (x)=F^|(x). 2.Вычислить математическое ожидание MX на указанном отрезке по формуле: . 3.Вычислить дисперсию DХ на указанном отрезке по формуле и среднеквадратичное отклонение по формуле . 4.Найти моду, исследовав на экстремум функцию f(x) с помощью производной f ^|(x). 5.Найти медиану, решив уравнение . 6. Вычислить вероятность попадания в интервал (a;b) по формуле: P(a< Х < b)=Ф(b)-Ф(а). 7.Построить график функции плотностивероятности f (X) и функции распределения F(X).
	Вычисление числовых характеристик НСВ, равномерно распределенной на отрезке [a,b], а также вероятность попадания НСВ Х в интервал P (a< Х < b).	1.Записать функция плотности вероятности f (x), определив границы интервала a и b. 2.Вычислить математическое ожидание MX по формуле для равномерных распределений MX = 3.Вычислить дисперсию DX по формуле для равномерных распределений . 4. Записать функцию распределения вероятности F(X), имеющую вид F(X)= . 5.Вычислить вероятности попадания НСВ в интервал P (a< Х < b) по алгоритму 13 (п.6).
	Вычисление числовых характеристик НСВ, имеющей показательное распределение на отрезке [a,b]	1. Записать функцию плотности вероятности f (x) показательного распределения для заданного значения l по формуле f (x) = 2.Записать функцию распределения F (x) для заданного значения l по формуле F (x) = . 3.Вычислить математическое ожидание по формуле MX= 4.Вычислить дисперсию и среднеквадратичное отклонение по формулам DX= и = . 5. Вычислить вероятность попадания в интервал по формуле P(a<X<b)= .
	Определение числовых характеристик и вероятности попадания нормально распределенной НСВ Х в интервал P (a< Х < b).	1.Записать математическое ожидание m и среднеквадратичное отклонение σ для нормально распределенной НСВ по закону N (m,σ). 2.Записать функцию плотности вероятности f (x) для нормально распределенной НСВ Х 3. Записать функцию распределения вероятности для нормально распределенной НСВ Х 4. Вычислить P (a < x < b), используя таблицы 3, по формуле P(a <X< b)=Ф()-Ф(). 5. Вычислить P (- d< x -m < d) или Р(|x-m|<d) по формуле P(| x - a |<d)=2Ф(), используя таблицы 3 (Приложение 1).
	Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что НСВ Х отличается от среднего на величину e	1.Записать условие символически: математическое ожидание mX, среднеквадратичное отклонение s, дисперсия DX. 2. Подставить значения mX, DX и eв неравенство Чебышева P (| X - mX | ≥ e) ≤ , если надо оценить вероятность того, что НСВ отличается от среднего на величину, больше, чем e. 3. Подставить значения mX, DX и eв неравенство Чебышева P (| X - mX | < e) ≥1- , если надо оценить вероятность того, что НСВ отличается от среднего на величину, меньше, чем e.

Алгоритм 9

Дата добавления: 2015-07-25