III. Комплексные умения и алгоритмы к

разделу 3 «Элементы математической статистики»

1/18. Построение вариационного ряда, эмпирической функции распределения и ее графика - кумуляты.

2/19. Построение полигона и гистограммы

3/20. Вычисление точечной оценок параметров распределения по выборке.

4/21. Вычисление точечной несмещенной оценки для дисперсии.

5/22. Нахождение с помощью статистических таблиц интервала, в который с заданной вероятностью попадает случайная величина, распределенная нормально или по Стьюденту.

6/23. Вычисление доверительных интервалов для математического ожидания m нормального распределения.

7/24. Вычисление доверительного интервала для генеральной дисперсии D и среднеквадратичного отклонения s.

8/25. Вычисление доверительного интервала для вероятности р наступления события А с помощью таблиц нормального распределения.

Комплексные умения и алгоритмы

к разделу 1 «Основные понятия и теоремы теории вероятностей»

№	Умения	Алгоритмы
	Вычисление числа соединений - вариантов различных подмножеств (выборок) для конечных множеств.	1.Установить количество элементов всего множества n и количество элементов его подмножества m. 2. Определить, влияет ли порядок расположения элементов в подмножестве на число вариантов различных подмножеств, состоящих из этих m элементов. 3. Выбрать, в зависимости от конкретного случая, комбинаторную операцию: а) если число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то перестановки без повторений Pn=n!; б) если число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем и есть повторяющиеся элементы, то перестановки с повторениями ; в) если число комбинаций в подмножестве (выборке) зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то размещения без повторений ; г) если число комбинаций в подмножестве (выборке) зависит от порядка расположения элементов в нем и элементы повторяются, то размещения с повторениями ; д) если число комбинаций в подмножестве (выборке) не зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то сочетания без повторений ; е) если число комбинаций в подмножестве (выборке) не зависит от порядка расположения элементов в нем и есть повторяющиеся элементы, то сочетания с повторениями .
	Вычисление вероятностей событий по определению.	1.Ввести обозначения для заданных величин и вопроса задачи. 2. Выбрать формулу вероятности, соответствующую данному случаю: а) классическое определение: если задано общее число равновозможных исходов n и число исходов m, благоприятных событию А (которые можно сосчитать), то находим вероятность по формуле ; б) геометрическое определение: если все возможные исходы можно изобразить с помощью геометрической фигуры (отрезок, круг, полоса, куб и др.– как полное пространство элементарных событий W), то надо - нарисовать эту фигуру, соответствующую полному пространству элементарных исходов W; - внутри нее нарисовать фигуру, соответствующую исходам, благоприятствующим событию А, - вычислить площади фигур А и W, - найти вероятность как отношение этих площадей по формуле P(A) .
	Вычисление вероятностей событий по известным вероятностям других событий, с ними связанных.	1. Обозначить все события, указанные в задаче. Известные вероятности представить в виде дроби. 2.Установить связи между событиями. 3. Вычислить требуемые вероятности, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, а также формулу для вычисления противоположного события; если надо вычислить вероятность того, что событие произойдет а) не менее, чем k раз, то надо найти P(m ³ k)= ; б) если «хотя бы один раз» или «не менее одного раза» - P(0< m £ n)= (событие, противоположное тому, что A не произошло ни разу), если «хотя бы 2 раза» - Pn(2 £ m £ n)= ; в)не более чем k раз, то вычисляют ; г)более, чем k раз, то вычисляют ; д) менее, чем k раз, то вычисляют ;
	Вычисление вероятностей событий в зависимости от числа различных подмножеств конечных множеств (различных соединений).	1. Обозначить все события, указанные в задаче. 2. Вычислить число равновозможных исходов n и число исходов m, благоприятствующих событию А, пользуясь комбинаторными операциями по алгоритму 1, а также правилами суммы и произведения. 3. Найти формулу вероятности для данного случая, пользуясь классическим определением по формуле .
	Вычисление вероятности события A по формуле полной вероятности. Вычисление вероятности одной из гипотез по формуле Байеса.	1.Дать описание всех гипотез H 1, H 2, …, Hn, на которые можно разбить пространство элементарных исходов и события A. 2.Вычислить вероятность каждой гипотезы P (H 1), P (H 2),…, P (Hn). 3. Вычислить условную вероятность события A по каждой гипотезе P (A / H 1), P (A / H 2),..., P (A / Hn). 4. Вычислить вероятность события A по формуле полной вероятности: . 5.Вычислить вероятность гипотезы Hi при условии, что событие А произошло, по формуле Байеса: = .
	Вычисление вероятностей числа m успехов в n независимых повторных испытаниях (биномиальные распределения), по формуле Бернулли, если надо найти точное значение m, где n<10.	1. Ввести обозначения для заданных величин: чис­ла испытаний, числа успехов, вероятности наступ­ления события A, и выписать их значения. Выписать формулу для искомой вероятности, придерживаясь общепринятых обозначений: - n - число испытаний при n <10, - m - число успехов наступлений события A, - p - вероятность наступления события A в единич­ном испытании, - q = 1 - p (вероятность неудачи), - Pn (m) - вероятность наступления события A m раз в n ис­пытаниях. В колонке "Конкретное соответствие" выписать заданные в задаче значения n, m и p. 2. Сосчитать вероятность: если требуется найти вероятность того, что событие произошло а) ровно m раз, то надо пользоваться формулой Бернулли для биномиальных распределений: б) не менее, чем k раз, то надо найти P(m ³ k)= ; по алгоритмам 3а) и 5а). в) если «хотя бы один раз» или «не менее одного раза»- P(0< m £ n)= (событие, противоположное тому, что A не произошло ни разу), г)хотя бы 2 раза - Pn (2 £ m £n)= и т.д., по алгоритмам 3-б) и 5-а).
	Вычисление вероятностей числа m успехов в независимых повторных испытаниях n (биномиальные распределения), по формуле Пуассона, если вероятность р наступления события А мала, а n велико и l =nр<10;	1. Ввести обозначения для заданных величин, используя алгоритм 5. 2. Вычислить вероятность по формуле Пуассона , используя для вычислений таблицы 1-а(конкретные значения) и 1-б (значения на интервале), а также алгоритмы 3а) и 3б). Вычисления можно выполнить на калькуляторе.
	Вычисление вероятностей для числа m успехов в n независимых повторных испытаниях, если n велико и np>10, когда надо найти для m а) конкретное значение вероятности; б)вероятность попадания в интервал [m1,m2]. .	1.Ввести обозначения для заданных величин, используя алгоритм 5. 2. а) Вычислить вероятность, используя формулу Муавра-Лапласа: , функция j(х) затабулирована (таблица 2), затабулирована причем j(х)=j(-х). б) Вычислить вероятность, используя интегральную формулу Лапласа: Рn(m1£m£m2)=Ф(х2)-Ф(х1), где и Ф(х) - функция Лапласа затабулирована (таблица 3), причем Ф(-х)=-Ф(х).

Алгоритм на умение № 1

Вычисление числа соединений - вариантов различных подмножеств (выборок) для конечных множеств

Задача1-а. В футбольном турнире участвовали команды пяти факультетов. Найти число вариантов возможного распределения мест между ними.

Решение:

№ п/п	Алгоритмы	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
1.	Установить количество элементов всего множества n и количество элементов его подмножества m.	Множество состоит из пяти элементов n=5, подмножество в условии не рассматривается.
2.	Определить, влияет ли порядок расположения элементов в подмножестве на число вариантов различных подмножеств	В задаче требуется найти различные варианты распределения мест между командами, т.е. порядок расположения элементов важен
3.	Выбрать, в зависимости от конкретного случая, комбинаторную операцию: а) если число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то использовать формулу перестановок без повторений Pn=n!;	Т.к. число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то выбираем формулу перестановок без повторений Pn=n! Имеем: P5=5!=120 вариантов.

Задача 1-б.Найти число вариантов распределения призовых мест на футбольном турнире между пятью командами нашего факультета.

Решение:

№ п/п	Алгоритмы	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
1.	Установить количество элементов всего множества n и количество элементов его подмножества m.	Множество состоит из пяти элементов n=5, подмножество призовых мест m=3.
2.	Определить, влияет ли порядок расположения элементов в подмножестве на число вариантов различных подмножеств, состоящих из этих m элементов.	В задаче требуется найти различные варианты распределения призовых мест между командами, т.е. порядок расположения элементов в подмножестве призовых мест важен.
3.	Выбрать, в зависимости от конкретного случая, комбинаторную операцию: в) если число комбинаций в подмножестве (выборке) зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то использовать формулу размещений без повторений .	Т.к. число комбинаций в подмножестве зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то выбираем формулу размещений без повторений вариантов.

Задача 1-в. Сколько игр будет проведено в футбольном турнире на первенство факультета по футболу, если в нем участвуют пять команд и каждая играет с каждым из соперников по одной игре?

Решение:

№ п/п	Алгоритмы	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
1.	Установить количество элементов всего множества n и количество элементов его подмножества m.	Множество состоит из пяти элементов n =5, подмножество команд, участвующих в одной игре состоит из двух элементов (два противника), т.е. m =2.
2.	Определить, влияет ли порядок расположения элементов в подмножестве на число вариантов различных подмножеств, состоящих из этих m элементов.	В задаче требуется найти различные варианты составления плана проведения такого турнира, но порядок расположения элементов в подмножестве не важен (два противника на каждой игре равноправны).
3.	Выбрать, в зависимости от конкретного случая, комбинаторную операцию: д) если число комбинаций в подмножестве (выборке) не зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то использовать формулу сочетаний без повторений .	Т.к. число комбинаций в подмножестве не зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то выбираем формулу сочетаний без повторений вариантов.

Задача 1-г. На футбольном турнире каждой команде присваивается число – двоичный номер, состоящий из цифр 1(победа) и 0(поражение), заработанных в каждой проведенной игре. Найти число возможных двоичных номеров этого турнира между пятью командами факультета.

Решение:

№ п/п	Алгоритмы	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
1.	Установить количество элементов всего множества n и количество элементов его подмножества m.	Множество «мест» для записи двоичного числа состоит из двух элементов n =2, «подмножество» мест для записи результатов игр (победа или поражение) m =10.
2.	Определить, влияет ли порядок расположения элементов в подмножестве на число вариантов различных подмножеств, состоящих из этих m элементов.	В задаче требуется найти различные варианты распределения нулей и единиц между командами, т.е. порядок расположения элементов в подмножестве важен.
3.	Выбрать, в зависимости от конкретного случая, комбинаторную операцию: в) если число комбинаций в подмножестве (выборке) зависит от порядка расположения элементов в нем и есть повторяющиеся элементы, то использовать формулу размещений с повторениями .	Т.к. число комбинаций в подмножестве зависит от порядка расположения элементов в нем и есть повторяющиеся элементы, то выбираем формулу размещений с повторениями варианта. Замечание. Эту задачу можно было решить, пользуясь лишь правилом произведения: на каждом из возможных десяти мест, предназначенных для записи результата игры может быть одна из двух цифр – и 1, и 0. Поэтому количество цифр 2 необходимо умножить десять раз по числу проведенных игр, т.е. варианта.

Задача 1-д. Сколько различных слов можно составить из букв слова «барабан»?

Решение:

№ п/п	Алгоритмы	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
1.	Установить количество элементов всего множества n и количество элементов его подмножества m.	Множество состоит из семи элементов n =7, подмножество в условии не рассматривается.
2.	Определить, влияет ли порядок расположения элементов в подмножестве на число вариантов различных подмножеств	В задаче требуется найти различные варианты распределения данных букв между семью местами, для них предназначенными, т.е. порядок расположения элементов важен.
3.	Выбрать, в зависимости от конкретного случая, комбинаторную операцию: а) если число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем и есть повторяющиеся элементы, то использовать формулу перестановок с повторениями	Т.к. число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем и есть повторяющиеся элементы, то выбираем формулу перестановок с повторениями. Сосчитаем число повторяющихся букв: n 1=3 (для буквы а), n 2=2 (для буквы б), n 3= n 4=1 (для букв р и н), т.е. вариантов.

Алгоритм на умение № 2

Дата добавления: 2015-07-25