Численное дифференцирование на равномерной сетке.

Пусть задана сетка .

Теорема 4.1. Обозначим и т.д. и пусть , тогда существует такая точка , для которой справедлива формула:

(2)

Т.к. , то справедливо разложение Тейлора с центром в точке и остаточным членом в форме Лагранжа:

.

В точке получаем:

,

откуда следует

,

что и требовалось доказать.

Теорема 4.2. Пусть тогда

.

(3)

Самостоятельно. См. ход доказательства следующей теоремы .

Теорема 4.3. Пусть , тогда существует такая точка , что справедлива формула

.

(4)

По условию теоремы справедливо тейлоровское разложение функции с центром в точке :

, (5)

где . Положим в формуле (5) последовательно и :

Складывая эти две формулы, получим

.

В силу непрерывности четвертой производной :

,

Откуда следует:

, т.е. формула (4) .

Замечание. Формулы (2), (3) и (4) называются формулами численного дифференцирования. При этом формула (2) аппроксимирует первую производную в узле правой конечной разностью и имеет порядок точности (т.е. первый порядок);

формула (3) аппроксимирует первую производную центральной конечной разностью и имеет порядок точности (второй порядок);

формула (4) аппроксимирует вторую производную в узле центральной конечной разностью и имеет порядок точности (второй порядок).

4.3. Задача Коши для ОДУ.

Дата добавления: 2015-07-16