Читайте также:
|
|
Пусть задана система нелинейных уравнений
или в более компактной форме: f (x)=0, где ─
-мерная вектор-функция (вектор-столбец).
Для реализации метода решения и исследования сходимости необходимо, чтобы функции были достаточно гладкими, например,
, где
.
Рассмотрим i -ое уравнение системы: и пусть
- некоторое приближение к корню
, полученное на k -ой итерации.
Разложим функцию в многомерный ряд Тейлора в точке
:
![]() | (17) |
где
-
- вектор-градиент функции в точке
, а
- скалярное произведение векторов a и b. Пренебрегая остаточным членом в (17), положим
или в более компактной матричной форме:
![]() | (18) |
где
-
- так называемая матрица Якоби первых производных в точке .
Пусть . Разрешим систему линейных алгебраических уравнений (18) относительно x:
И положим :
![]() | (19) |
Векторное уравнение (19) представляет собой итерационную процедуру Ньютона в многомерном случае. Для ее запуска необходимо задать начальную точку . Однако при произвольном выборе начальной точки нельзя гарантировать сходимость процедуры Ньютона. Вопрос о сходимости (19) в теоретическом плане более сложный, чем тот же вопрос о сходимости метода Ньютона в одномерном случае. Рассмотрим некоторые основные моменты проблемы исследования сходимости процедуры (19).
Прежде всего отметим, что для реализации метода Ньютона необходимо, чтобы матрица Якоби была невырождена в некоторой окрестности точки
. Тогда обратная матрица
существует в этой окрестности. Аналогично одномерному случаю, процедуру (19) можно рассматривать как итерационный поиск неподвижной точки для уравнения
,
где -
- мерная оператор-функция. Можно показать, что
. Поэтому, как и в одномерном случае существует окрестность точки
, в которой оператор-функция
является сжимающим оператором с некоторой константой сжатия
, тем меньшей, чем ближе точка
к точке
(в эвклидовой норме). Поэтому о характере сходимости многомерного метода Ньютона справедливы утверждения, аналогичные одномерному случаю.
Например, если - строго выпукла в G,
и начальное приближение
выбирается достаточно близко к
, то итерационная процедура Ньютона (19) сходится с линейной скоростью, а, начиная с некоторого номера, - и с квадратичной скоростью.
Замечание. Строгую формулировку достаточных условий сходимости метода Ньютона в многомерном случае можно найти в цитируемой литературе (см., например, [2]). На практике эти условия, как правило, проверить чрезвычайно сложно. Поэтому при работе на компьютере (например, в пакете MATLAB) используют метод проб и ошибок при выборе начальной точки . На начальном этапе важно найти так называемую зону притяжения, т.е. такую область
, что при выборе
процедура (19) сходится.
Пример 4. Задана система уравнений:
Взяв в качестве начального приближения точку , выполнить одну итерацию по методу Ньютона.
Ответ:
. Точное решение:
.
3.4. Численные методы решения систем ЛАУ.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 197 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Принцип сжатых отображений. | | | Прямые методы решения систем ЛАУ. |